Question

4. Решите уравнение 2 sin²x + sinxcosx = cos2x ​

Answer 1

Ответ:

Решить тригонометрическое уравнение . Приводим это уравнение к однородному .

$\bf 2\, sin^2x+sinx\cdot cosx=cos2x\\\\2\, sin^2x+sinx\cdot cosx=cos^2x-sin^2x\\\\3\, sin^2x+sinx\cdot cosx-cos^2x=0\ \Big|:cos^2x\ne 0\\\\3\ tg^2x+tg\, x-1=0$  

Замена :  $\bf t=tg\, x\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 3\, t^2+t-1=0\ ,$  

$\bf D=b^2-4ac=1+12=13\ \ ,\\\\t_1=\dfrac{-1-\sqrt{13}}{6}\approx -0,77\ ,\ t_2=\dfrac{-1+\sqrt{13}}{6}\approx 0,43$  

Обратная замена .

$\bf tg\, x=\dfrac{-1-\sqrt{13}}{6}\ \ \to \ \ \ x=arctg\dfrac{-1-\sqrt{13}}{6}+\pi n\ ,\ \ n\in Z\\\\tg\, x=\dfrac{-1+\sqrt{13}}{6}\ \ \to \ \ \ x=arctg\dfrac{-1+\sqrt{13}}{6}+\pi k\ ,\ \ k\in Z\\\\Otvet:\ x_1=arctg\dfrac{-1-\sqrt{13}}{6}+\pi n\ ,\ x_2=arctg\dfrac{-1+\sqrt{13}}{6}+\pi k\ ,\ \ n,k\in Z$