45 БАЛЛОВ! У правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 (рис. 14.9) все ребра равны 1. Найдите расстояние между прямыми: a) AA1 и B1C1; б) AA1 и C1D1; в) АА1 и CD1; г) АА1 и DE1; д) AA1 и BD1.
Ответы
Ответ:
a) Розглянемо пряму AA₁ та площину B₁C₁. Так як пряма паралельна ребру B₁C₁, а усі ребра призми рівні, то відстань між прямою AA₁ та площиною B₁C₁ дорівнює довжині відстані між A і B₁ (або C₁).
Отже, відстань між прямою AA₁ та площиною B₁C₁ дорівнює 1.
б) Аналогічно, відстань між прямою AA₁ та площиною C₁D₁ дорівнює 1.
в) Тут пряма AA₁ паралельна грані CD₁, отже, відстань між ними також 1.
г) Аналогічно, відстань між прямою AA₁ та гранню DE₁ дорівнює 1.
д) Пряма AA₁ і ребро BD₁ не паралельні, але можна використовувати підобрані трикутники для знаходження відстані. Одна можлива конструкція — використання прямокутних трикутників ABC та A₁B₁D₁. Застосовуючи теорему Піфагора, знаходимо відстань між прямою AA₁ та ребром BD₁:
\[ BD₁^2 = AB₁^2 + AD₁^2 \]
\[ BD₁^2 = 1^2 + 1^2 \]
\[ BD₁ = \sqrt{2} \]
Отже, відстань між прямою AA₁ та ребром BD₁ дорівнює \( \sqrt{2} \).
Объяснение: