Все члены геометрической прогрессии - натуральные числа. Если третий член больше чем первый на 490; То во сколько раз третий член больше чем первый член?
А) 29
В) 49
С) 36
D) 16
Ответы
Ответ:
В 36 раз третий член больше, чем первый член
Решение:
Рассмотрим, что нам нужно найти, а именно отношение третьего члена к первому:
По условию:
Используя же формулу n-ого члена геометрической прогрессии можно записать:
Тогда:
Выразим искомый квадрат знаменателя:
На этом шаге уже можно проверить предложенные варианты ответа. Подставляя вместо варианты ответа A) - D) необходимо проверить, при каком их этих значений значение
будет натуральным числом.
Но мы продолжим решение аналитически. Поскольку все члены геометрической прогрессии - натуральные числа, то и знаменатель прогрессии - натуральное число. Тогда и квадрат знаменателя прогрессии - натуральное число.
Чтобы получить натуральное значение как минимум значение
должно быть натуральным. Чтобы найти, при каких значениях
это происходит выпишем делители числа 490:
При делении числа 490 на одно из вышеперечисленных чисел мы также получим одно из вышеперечисленных чисел. После прибавление 1 к получившемуся результату мы должны получить точным квадрат .
Заметим, что среди делителей числа 490 только одно число на 1 меньше некоторого точного квадрата - это число 35. Значит:
Можно найти непосредственно сами члены этой геометрической прогрессии:
Как видно, действительно их разность равна 490.
Элементы теории:
Формула n-ого члена геометрической прогрессии: