Question

Все члены геометрической прогрессии - натуральные числа. Если третий член больше чем первый на 490; То во сколько раз третий член больше чем первый член?
А) 29
В) 49
С) 36
D) 16

Answer 1

Ответ:

В 36 раз третий член больше, чем первый член

Решение:

Рассмотрим, что нам нужно найти, а именно отношение третьего члена к первому:

$\dfrac{b_3}{b_1} =\dfrac{b_1q^2}{b_1}=q^2$

По условию:

$b_3=b_1+490$

Используя же формулу n-ого члена геометрической прогрессии можно записать:

$b_3=b_1q^2$

Тогда:

$b_1q^2=b_1+490$

Выразим искомый квадрат знаменателя:

$q^2=\dfrac{b_1+490}{b_1} =1+\dfrac{490}{b_1}$

На этом шаге уже можно проверить предложенные варианты ответа. Подставляя вместо $q^2$ варианты ответа A) - D) необходимо проверить, при каком их этих значений значение $b_1$ будет натуральным числом.

Но мы продолжим решение аналитически. Поскольку все члены геометрической прогрессии - натуральные числа, то и знаменатель прогрессии - натуральное число. Тогда и квадрат знаменателя прогрессии - натуральное число.

Чтобы получить натуральное значение $q^2$ как минимум значение $\dfrac{490}{b_1}$ должно быть натуральным. Чтобы найти, при каких значениях $b_1$ это происходит выпишем делители числа 490:

$490=2\cdot5\cdot7^2$

$D(490)=\{1;\ 2;\ 5;\ 7;\ 10;\ 14;\ 35;\ 49;\ 70;\ 98;\ 295;\ 490\}$

При делении числа 490 на одно из вышеперечисленных чисел мы также получим одно из вышеперечисленных чисел. После прибавление 1 к получившемуся результату мы должны получить точным квадрат $q^2$.

Заметим, что среди делителей числа 490 только одно число на 1 меньше некоторого точного квадрата - это число 35. Значит:

$\dfrac{490}{b_1}=35$

$\Rightarrow q^2=1+\dfrac{490}{b_1}=1+35=\boxed{36}$

Можно найти непосредственно сами члены этой геометрической прогрессии:

$b_1=\dfrac{490}{35} =14$

$b_3=14\cdot36=504$

Как видно, действительно их разность равна 490.

Элементы теории:

Формула n-ого члена геометрической прогрессии:

$b_n=b_1q^{n-1}$