ДАЮ 100 БАЛЛОВ!! Напишите уравнение касательной к графику функции y=x^(3)-3x, перпендикулярной прямой y=(1/2)x.
Ответы
Ответ:
Чтобы написать уравнение касательной к графику функции y=x^(3)-3x, перпендикулярной прямой y=(1/2)x, мы должны найти точку, в которой эта касательная касается графика функции.
Сначала найдем производную данной функции:
y' = 3x^2 - 3
Теперь найдем точку, в которой касательная будет касаться графика функции. Поскольку касательная перпендикулярна прямой y=(1/2)x, то угловой коэффициент касательной и прямой, к которой она перпендикулярна, должен быть -2 (так как -2 является обратным числом к 1/2).
Теперь найдем x-координату точки касания, равную x0:
3x0^2 - 3 = -2
3x0^2 = 1
x0^2 = 1/3
x0 = ±√(1/3)
Так как функция четная, касательная будет перпендикулярна прямой y=(1/2)x в двух точках: x0 = √(1/3) и x0 = -√(1/3).
Теперь найдем соответствующие y-координаты для этих x:
y(√(1/3)) = (√(1/3))^3 - 3√(1/3) = 1/3 - √(1/3)
y(-√(1/3)) = (-√(1/3))^3 - 3(-√(1/3)) = -1/3 + √(1/3)
Таким образом, получаем две точки касания: (√(1/3), 1/3 - √(1/3)) и (-√(1/3), -1/3 + √(1/3).
Теперь у нас есть точки касания и угловой коэффициент касательной. Мы можем использовать формулу уравнения прямой: y - y0 = m(x - x0), где m - угловой коэффициент, x0 и y0 - координаты точки, и x и y - переменные координаты.
Теперь напишем уравнение касательной для точки (√(1/3), 1/3 - √(1/3)):
y - (1/3 - √(1/3)) = -2(x - √(1/3))
И уравнение касательной для точки (-√(1/3), - 1/3 + √(1/3)):
y - (-1/3 + √(1/3)) = -2(x + √(1/3))
Это уравнения касательных к графику функции y=x^(3)-3x, перпендикулярных прямой y=(1/2)x, в двух точках.