Question

здравствуйте, помогите пожалуйста решить задачу, кто нибудь знает как решить эту задачу , найти определител ​, актуально 10ч

Answer 1

Ответ:

 $I_n=nx^n+\dfrac{(n-1)n}{2}x^{n-1}h.$

Объяснение:

У меня нет времени рисовать определители, поэтому не обижайтесь, если решение не очень легко будет понять. Вычислим непосредственно определители при нескольких малых n.

                     $I_1=x;\ I_2=x^2+x(x+h)=2x^2+xh;$

                $I_3=x^3+x^2(x+2h)+x^2(x+h)=3x^3+3x^2h.$

Если гипотезу относительно формулы в общем виде выдвинуть не удается, можно посчитать определитель при n=4 (разложив, например определитель по последнему столбцу). Выписываю сразу результат (мы им будем пользоваться только для выдвижения гипотезы):

                                           $I_4=4x^4+6x^3h.$

Выдвигаем гипотезу: определитель n-го порядка есть сумма двух слагаемых; первое слагаемое есть n- я степень икса, умноженная на n,  а второе - (n-1)-я степень икса, умноженная на h и на некоторое число, которое, возможно, есть сумма целых чисел от нуля до (n-1), то есть равно $\frac{(n-1)n}{2}.$ Итак, вот наша гипотеза:

                                     $I_n=nx^n+\dfrac{(n-1)n}{2}x^{n-1}h.$

Подставляя (не доверяя себе) вместо n значения 1, 2, 3, 4, убеждаемся, что при этих n формула дает правильный ответ.

Чтобы доказать формулу в общем виде, воспользуемся методом математической индукции. Для малых  n формулу мы проверили, остается только предположить, что она верна при некотором n и доказать ее справедливость при (n+1). Иными словами, мы должны доказать, что

                          $I_{n+1}=(n+1)x^{n+1}+\dfrac{n(n+1)}{2}x^nh.$

Для этого разложим определитель по последнему столбцу. В нем только два ненулевых элемента, поэтому

  $I_{n+1}=xA_{n+1, n+1}+(x+nh)A_{1,n+1}=xI_n+(-1)^{n}(x+nh)\Delta_n.$

Здесь $\Delta_n$ - это определитель n-го порядка, у которого все элементы равны нулю, кроме элементов на главной диагонали - все они равны  (-x), и элементов над главной диагональю - все они равны x. По любому это верхнетреугольная матрица, и определитель равен произведению чисел на главной диагонали, то есть $(-x)^n=(-1)^nx^n.$

Поэтому

              $I_{n+1}=x\left(nx^n+\dfrac{(n-1)n}{2}x^{n-1}h\right)+x^{n+1}+nx^nh=$

      $=(n+1)x^{n+1}+n\left(\dfrac{n-1}{2}+1\right)x^nh=(n+1)x^{n+1}+\dfrac{n(n+1)}{2}x^nh.$

Таким образом, наша гипотеза подтвердилась, и задача полностью решена.