Question

Комплексные числа

Решить уравнение 2z^2+2z+1=0 на множестве комплексных чисел.

Answer 1

Ответ:

На множестве комплексных чисел уравнение имеет два корня: $\dfrac{-1\pm i }{2}$

Решение:

$2z^2+2z+1=0$

Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом:

$D_1=1^2-2\cdot1=1-2=-1$

Найдем значение корня из дискриминанта. На множестве комплексных чисел функция квадратного корня является многозначной и для ненулевого числа дает два значения:

$\sqrt{-1} =\pm\sqrt{1}\cdot i=\pm i$

Тогда, по формуле корней:

$z=\dfrac{-1\pm \sqrt{-1} }{2} =\boxed{\dfrac{-1\pm i }{2} }$

Элементы теории:

Решение квадратного уравнения $ax^2+2kx+c=0$ с четным вторым коэффициентом:

$D_1=k^2-ac$

$x=\dfrac{-k\pm\sqrt{D_1}} {a}$

Извлечение квадратного корня из отрицательного числа на множестве комплексных чисел:

$\sqrt{z} =\pm \sqrt{-z}\cdot i,\ z < 0$, где в левой части равенства знак корня означает извлечение корня на множестве комплексных чисел, а в правой части - арифметический квадратный корень из положительного действительного числа