Question

Решите систему уравнений:

Answer 1

Ответ:

$x = 4, y = 0.5$ или $x = -2, y = -1$

Объяснение:

Умножим второе уравнение на 12 и получим $12x^2y - 48xy^2 = 48$.

Теперь прибавим эти уравнения и получим

$x^3 - 64y^3 + 12x^2y - 48xy^2 = 8\\(x-4y)^3 = 8\\x-4y = \pm 2$

Заметим, что $x^2y - 4xy^2 = xy(x-4y)$. Следовательно, $xy = 4:\pm 2 = \pm 2$. Рассмотрим оба варианта (х - 4у = 2 и х - 4у = -2), и для каждого варианта решим систему:

I вариант

$\left \{ {{x-4y=2} \atop {xy=2}} \right.\\x = 2+4y\\y(2+4y)=2\\y(2y+1)=1\\2y^2+y-1=0\\y^2+\frac{1}{2}y - \frac{1}{2} = 0\\\\y^2+\frac{1}{2}y + \frac{1}{16} - \frac{9}{16} = 0\\\\(y+\frac{1}{4})^2 = \frac{9}{16}\\y+\frac{1}{4} = \pm \frac{3}{4}\\y_1 = \frac{3}{4}-\frac{1}{4}, y_2 = -(\frac{1}{4} + \frac{3}{4})\\y_1 = 0.5, y_2 = -1\\x_1 = 2+0.5*4, x_2 = 2+(-1)*4\\x_1 = 4, x_2 = -2$

II вариант:

$\left \{ {{x-4y=-2} \atop {xy=-2}} \right. \\x = 4y - 2\\y(4y-2) = -2\\y(2y-1) = -1\\2y^2 - y + 1 = 0\\y^2 - \frac{1}{2}y + \frac{1}{2} = 0\\\\y^2 - \frac{1}{2}y + \frac{1}{16} - \frac{1}{16} + \frac{1}{2} = 0\\\\(y-\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16} - \frac{1}{2}\\\frac{1}{16} < \frac{1}{2}\\\frac{1}{16} - \frac{1}{2} < 0\\(y - \frac{1}{4})^2 < 0$

Решений нету

Следовательно, у системы есть 2 решения - $x_1 = 4, y_1 = 0.5$ или $x_2 = -2, y_2 = -1$. Проверь сам, они подходят!