Question

Довести,що 2²⁰²³+3²⁰²³ділиться на 5

Answer 1

Ответ:

-

Пошаговое объяснение:

Метод №1:

$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\dots-ab^{n-2}+b^{n-1})$ при нечётном $n$, в нашем случае $a=2$, $b=3, n=2023$, и поскольку 2023 нечётное число, выражение будет делится на 2+3=5.

Метод №2:

Давайте рассмотрим последние цифры каждого числа. Воспользуемся тем, что $2^4$ заканчивается на 6, а $3^4$ заканчивается на 1.

И, если мы умножим любое чётное число на 6 или вообще любое число на 1, то его последняя цифра не изменится.

Следовательно, последняя цифра числа $2^{2023}$ равна последней цифры числа $2^3$ (потому что $2^{2023} = 2^3 * 2^{2020} = 2^3 * (2^4)^{505}$, а от умножения чётного числа на 16, как мы уже говорили, последняя цифра не изменится), которая в свою очередь, равна 8 (так как $2^3 = 8$).

Аналогично, последняя цифра числа $3^{2023}$ равна последней цифре числа $3^3$, которая равна 7 - так как 3³ = 27.

Ну а последняя цифра суммы равна последней цифре суммы 8 и 7, то есть 5 (так как 8+7=15).

А поскольку любое число, которое заканчивается на 5, делится на 5, то и наша сумма будет также делиться на 5.