Question

Подати дріб у вигляді суми найпростіших дробів та обчислити його інтеграл.

Answer 1

Ответ:

в объяснении

Объяснение:

$\displaystyle 3x+1=\frac{3}{2} (2x+2)-2\\\\\\\frac{3x+1}{x^2+2x+10} =\frac{3(2x+2)}{2(x^2+2x+10)} -\frac{2}{x^2+2x+10} \\\\\\\int { \frac{3x+1}{x^2+2x+10} } \, dx =\int { \frac{3(2x+2)}{2(x^2+2x+10)} } \, dx -\int { \frac{2}{x^2+2x+10} } \, dx$

решим первый интеграл

$\displaystyle \int\frac{3(2x+2)}{2(x^2+2x+10)} dx=3\left[\begin{array}{ccc}u=x^2+2x+10\\\displaystyle dx=\frac{du}{2x+2}\hfill \end{array}\right] =3*\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du =\\\\\\=3\frac{ln(u)}{2} +C=\boldsymbol {\frac{3ln(x^2+2x+10)}{2}+C }$

решим второй интеграл

$\displaystyle -2\int {\frac{1}{x^2+2x+10} } \, dx =-2\int \frac{1}{(x+1)^2+9} \; dx=\left[\begin{array}{ccc}u=\displaystyle \frac{x+1}{3} \\dx=3du\end{array}\right] =\\\\\\=-2\int {\frac{3}{9u^2+9} } \, du=-2*\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^2+1} \; du=-\frac{2}{3} arctg(u)+C=\\\\\\\boldsymbol {=-\frac{2}{3} arctg\bigg(\frac{x+1}{3} \bigg)+C}$

ответ

$\displaystyle \int \frac{3x+1}{x^2+2x+10} \;dx=\frac{3 }{2} ln(x^2+2x+10) -\frac{2}{3} arctg\bigg(\frac{x+1}{3} \bigg)+C$