Ответы
Решим неравенство с помощью замены переменной. Пусть sin x = t, тогда исходное неравенство примет вид:
2t² - t - 3 < 0
Решим полученное квадратное неравенство относительно t. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения:
D = 1 + 24 = 25; t1 = (1 - 5)/4 = -1, t2 = (1 + 5)/4 = 1.5
Таким образом, исходному неравенству удовлетворяют значения t, лежащие в интервале от -1 до 1.5.
Вернемся к замене и найдем соответствующие значения x. Для этого решим уравнения sin x = -1 и sin x = 1/2.
Решения уравнения sin x = -1 имеют вид x = π/2 + 2πk, где k ∈ Z.
Решения уравнения sin x = 1/2 имеют вид x = (-1)^n * arcsin(1/2) + πn, где n ∈ Z. Здесь arcsin - обратная функция к sin.
Интервал от π/2 до arcsin(1/2) соответствует значениям t от -1 до 1/2, поэтому решением исходного неравенства будут корни уравнения sin x = -1 на этом интервале, а также корни уравнения sin x = 1/2 на всей числовой прямой. Окончательно, решения имеют вид:
x1 = π/2 + 2πk; x2 = (-1)^n * (π/6) + πn; k, n ∈ Z