Question

sin^6 x+cos^6 x=7/4 cos^2 2x

Answer 1

$sin^6x+cos^6x= frac{7}{4} cos^22x\ (1-cos^2x)^3+cos^6x=frac{7}{4}cdot (2cos^2x-1)^2$
Произведем замену переменных
пусть $cos x=t$ (|t|≤1), тогда получаем
 $(1-t^2)^3+t^6=1.75(2t^2-1)^2\ -(t^2-1)^3+t^6-1.75(2t^2-1)^2=0$
Пусть $t^2=z,(z geq 0)$, откуда
$-(z-1)^3+z^3-1.75(2x-1)^2=0\ -(z^3-3z^2+3z-1)+z^3-1.75(4z^2-4z+1)=0\ -z^3+3z^2-3z+1+z^3-7z^2+7z-1.75=0\4z^2-4z+0.75=0|cdot 4\ 16z^2-16z+3=0 \ D=b^2-4ac=(-16)^2-4cdot 16cdot 3=64 \ z_1= frac{16-8}{2cdot16} =0.25\z_2= frac{16+8}{2cdot16}=0.75$
 Обратная замена
$t^2=0.25\ t=pm 0.5\ t^2=0.75\t=pm frac{ sqrt{3} }{2}$

Возвращаемся к замене
$cos x=frac{ sqrt{3} }{2}\ x=pm frac{pi}{6}+2 pi n,n in Z\ \ cos x=-frac{ sqrt{3} }{2}\ x=pm frac{5 pi }{6} +2 pi n,n in Z\ \ cos x=0.5\ x=pm frac{pi}{3}+2 pi n,n in Z\ \ cos x=-0.5\ x=pm frac{2 pi }{3} +2 pi n,nin Z$