Question

Обчислити площу фігури обмежену лініями:

y=-x²-4x; y=1; x=-3: x=-1.

Answer 1

Щоб обчислити площу фігури, обмеженої цими лініями, спочатку потрібно знайти точки перетину цих ліній.

Для ліній y=-x²-4x та y=1:

1. Прирівнюємо y: -x²-4x = 1.
2. Переносимо всі члени у рівнянні на одну сторону: x² + 4x + 1 = 0.
3. Розв'язуємо це квадратне рівняння шляхом факторизації або за допомогою квадратного формулу. Однак, у нашому випадку дискримінант D такий, що D = (4)² - 4(1)(1) < 0. Це означає, що рівняння не має розв'язків, тобто ці лінії не перетинаються.

Враховуючи, що лінії x = -3 та x = -1 є вертикальними лініями, діапазон інтервалу між ними буде використовуватися для обчислення площі фігури.

Щоб обчислити площу фігури під кривою y = -x² - 4x і між вертикальними лініями x = -3 та x = -1, ми можемо використати інтеграл від -3 до -1 функції (-x² - 4x).

S = ∫[-3, -1] (-x² - 4x) dx

Застосовуючи правило інтегрування, ми маємо:

S = [-x³/3 - 4x²/2] [-3, -1]
S = [(-(-1)³/3 - 4(-1)²/2) - (-(-3)³/3 - 4(-3)²/2)]
S = [(1/3 + 2/2) - (-27/3 + 36/2)]
S = [(1/3 + 1) - (-9 + 18)]
S = [4/3 - 9 + 18]
S = 4/3 + 9 + 18
S = 31 + 4/3
S = 93/3 + 4/3
S = 97/3

Таким чином, площа фігури під кривою y = -x² - 4x, обмеженої лініями x = -3 та x = -1, дорівнює 97/3.