Question

Обчислити інтеграл заміною змінних.

Answer 1

Ответ:

Вычислить определённый интеграл .

Применяем метод замены переменной в определённом интеграле .

$\bf \displaystyle \int\limits_0^4\ \frac{dx}{2+\sqrt{2x+1}}=\Big[\ 2x+1=t^2\ ,\ x=\frac{t^2-1}{2}\ ,\ dx=t\, dt\ ,\ t(0)=1\ ,\\\\\\t(4)=3\ \Big]=\int\limits_1^3\frac{t\, dt}{2+t}=\int\limits_1^3\frac{t+2-2}{t+2}\, dt=\int\limits_1^3\Big(1-\frac{2}{t+2}\Big)\, dt=\\\\\\=\Big(\ t-2\cdot ln\, |\, t+2\, |\ \Big)\Big|_1^3=\Big(\ 3-2\cdot ln\, |\, 5\, |\ \Big)-\Big(\ 1-2\cdot ln\, |\, 3\, |\ \Big)=\\\\\\=3-2\, ln\, 5-1+2\cdot ln\, 3=2+2\cdot ln\, \frac{3}{5}=2\cdot (1+ln\, 0,6)$