Question

Обчислити інтеграл частинами.

Answer 1

Ответ:

Вычислить определённый интеграл .

Применяем формулу интегрирования по частям в определённом интеграле .

$\bf \displaystyle \int\limits_0^1\ x\cdot e^{-x}\, dx=\Big[\ u=x\ ,\ du=dx\ ,\ dv=e^{-x}\, dx\ ,\ v=-e^{-x}\ \Big]=\\\\{}\qquad \ \ \ \int\limits_{a}^{b}\ u\, dv=uv\Big|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}\, v\, du\\\\\\=-x\cdot e^{-x}\, \Big|_0^1+\int\limits_0^1\, e^{-x}\, dx=-x\cdot e^{-x}\, \Big|_0^1-e^{-x}\, \Big|_0^1=-e^{-1}+0-(e^{-1}-e^0)=\\\\\\=-\frac{2}{e}+1$