Question

(1+x^3)dy=3x^2ydx

Помогите пожалуйста

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1+x^3)dy=3x^2ydx.

Для начала, разделим обе части на (1+x^3):

(dy)/(y)=(3x^2dx)/(1+x^3).

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

∫(dy)/(y)=∫(3x^2dx)/(1+x^3).

Левая часть дает ln|y|, а правая часть требует небольшой замены переменной: x^3 = u, тогда dx = (1/3u^(-2/3))du.

Используя это, мы получим:

ln|y| = ∫(3x^2dx)/(1+x^3) = ∫(3/u)/(1+u)du.

Продолжаем решать:

ln|y| = 3∫(du)/(u(1+u)).

Разделим на 3 и разложим дробь на простые дроби:

(1/u-1/(1+u))du.

Теперь интегрируем:

ln|y| = 3(ln|u|-ln|1+u|)+C.

Подставляем обратные замены для u и y:

ln|y| = 3(ln|x^3|-ln|1+x^3|)+C.

Итак, решение дифференциального уравнения будет:

ln|y| = 3ln|x^3/(1+x^3)|+C.