Question

Шестизначный код безопасности может состоять из:
букв А, В и С
цифр 2, 3 и 5
символов * и $
Каждый знак используется не более одного раза. Сколькими способами можно составить код безопасности, при условии, что оба символа должны быть использованы и, более того, стоять рядом друг с другом?

Answer 1

Ответ:

3600 способами можно составить код безопасности

Решение:

Первый способ.

Поскольку код должен быть шестизначным, и нам заранее известно о том, что в нем обязательно должны содержаться два символа, то нам остается выбрать 4 знака из 6 возможных (3 цифры + 3 буквы). Число способов сделать такой выбор равно числу размещений из 6 элементов по 4:

$A_6^4=\dfrac{6!}{(6-4)!} =6\cdot5\cdot4\cdot3=360$

Теперь рассмотрим символы. Поскольку у нас уже есть 4 выбранных знака, а символы должны стоять рядом друг с другом, то существует 5 способов разместить символы среди этих знаков (слева от первого, слева от второго, слева от третьего, слева от четвертого, справа от четвертого). Тогда, число способов увеличится в 5 раз и составит:

$360\cdot5=1800$

Но еще нужно учесть порядок следования символов. Их всего 2: сначала звездочка затем доллар или наоборот. Число способов еще увеличится в 2 раза:

$1800\cdot2=\boxed{3600}$

Второй способ.

Объединим символы в один условный (двойной) знак. Тогда, у нас имеется к выбору 7 знаков. Нам необходимо выбрать из них 5 знаков, предполагая, что среди выбранных будет наш условный (двойной) знак. Число способов сделать это равно числу размещений из 7 элементов по 5.

Однако, в число этих способов попали и такие, которые не содержат нашего условного (двойного) знака. Можно сказать? что фактически в этом случае мы выбирали не из 7, а из 6 знаков (исключая условный). Тогда, число таких недопустимых способов можно определить как число размещений из 6 элементов по 5.

После вычитания второго найденного количество из первого, нам останется учесть только одно: порядок следования символов. Этих порядков два: либо *$, либо $*.

Окончательно получим:

$2\cdot(A_7^5-A_6^5)=2\cdot\left(\dfrac{7!}{(7-5)!} -\dfrac{6!}{(6-5)!} \right)=$

$=2\cdot(7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3 -6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2 )=2\cdot 6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot(7-2 )=\boxed{3600}$

Третий способ.

Определим сначала состав знаков, которые будут в итоговом коде. Поскольку нам известно, что в шестизначном коде обязательно должны быть использованы 2 символа, то остается выбрать 4 знака из 6 имеющихся (3 цифры + 3 буквы). Число способов сделать это равно числу сочетаний из 6 элементов по 4.

Затем необходимо будет учесть перестановки знаков. Поскольку символы должны стоять рядом, то мы объединим их в один условный знак и будем рассматривать перестановку из 5 знаков. После этого, рассмотрим перестановку из двух символов, составлявших наш условный знак.

В результате получим:

$C_6^4\cdot P_5\cdot P_2=\dfrac{6!}{4!\cdot(6-4)!} \cdot5!\cdot2!=\dfrac{6\cdot5}{2!} \cdot5!\cdot2!=$

$=6\cdot5 \cdot5!=6\cdot5\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=\boxed{3600}$

Элементы теории:

Число перестановок из n элементов:

$P_n=n!$

Число размещений из n элементов по k:

$A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}$

Число сочетаний из n элементов по k:

$C_n^k=\dfrac{n!}{k!\cdot(n-k)!}$