площина паралельна стороні АВ трикутника АВМ. перетинає сторону АС В тояці В1. Знайти відрізок А1В1, якщо АВ=14 см , ВВ1 : В1С = 3:4
Ответы
Ответ:
За теоремою Таліса в трикутнику АВМ проведемо пряму, паралельну стороні АВ і перетинаємо сторону АМ в точці В2. Тоді за теоремою Таліса в трикутнику АВМ маємо:
B_1V/VС=B_2M/MA=B_2V+VM/MA=B_2V/MA+VM/MA=B_2A/AB+VM/MA
Оскільки площина, яка проходить через точки А1 і В1 паралельна стороні АВ, то за теоремою Таліса в трикутнику АВМ маємо:
A_1B_1/B_1M=AA_1/AM=BB_1/BM=14-BB_1/BM
Так як ВВ1 : В1С = 3:4, то ВС = 7BВ1/3, а В1С = 7BВ1/4, де ВС + В1С = 14 - BB1. Підставляємо ці значення в попередній вираз:
A_1B_1/B_1M=AA_1/AM=BB_1/BM=14-7/3B_1B/BM:7/4
A_1B_1/B_1M=16/21·B_1A/AB+4/21·VM/MA
Оскільки В2В1 і А1М паралельні, то за теоремою Таліса в трикутнику АВМ маємо:
B_2V/VС=B_2B_1/B_1C=B_2A_1/A_1M=B_2V+VB_1/MA-VM=B_2V/MA-VM+VB_1/MA-VM
VB_1/MA-VM=B_2C/MA=AB_2-AC/MA=AB-B_2M-AC/MA=AB-B_2V-VM-AC/MA
VB_1/MA-VM=AB-B_2V-AC/MA-VM/MA=1-VM/MA-B_2A/AB-AC/AB
Підставляємо значення з попередніх рівнянь і спрощуємо:
VB_1/MA-VM=4/21·B_2V/MA+16/21-7/3·B_1B/AB-7/3·AC/AB
VB_1/MA-VM=4/21·B_2V/MA+16/21-7/3·B_2A/AB-7/3·AC/AB
VB_1/MA-VM=4/21·B_2V/MA+16/21-7/3·(1-B_2V/AB)-7/3·(1-AC/AB)
VB_1/MA-VM=4/21·B_2V/MA+16/21-7/3+7/3·B_2V/AB+7/3·AC/AB
VB_1/MA-VM=4/21·B_2V/MA+5/21+7/3·B_2V/AB+7/3·AC/AB
Об'єднуємо два отримані рівняння:
A_1B_1/B_1M=16/21·B_1A/AB+4/21·VB_1/MA-VM
A_1B_1/B_1M=16/21·B_1A/AB+4/21·(4/21·B_2V/MA+5/21+7/3·B_2V/AB+7/3·AC/AB)
Підставляємо вираз для ВС і спрощуємо:
A_1B_1/B_1M=16/21·B_1A/AB+16/63·B_2V/MA+20/63+28/9·B_2V/AB-28/9·B_1B/AB
A_1B_1/B_1M=16/21·B_1A/AB+16/63·B_2V/MA+20/63+28/9·(B_2V-BB_1/AB)-28/9·(14-BB_1/AB)
A_1B_1/B_1M=16/21·B_1A/AB+16/63·(B_2V-BB_1/MA-VM)+20/63+28/9·(B_2V-BB_1/AB)-28/9·(14-BB_1/AB)
A_1B_1/B_1M=16/21·3/7+16/63·(3/7B_1B-4/7BB_1/MA-VM)+20/63+28/9·(3/7B_1B-4/7BB_1/14)-28/9·(14-3/7B_1B/14)
A_1B_1/B_1M=16/21·3/7-16/63·4/7/11/21+20/63+28/9·(3/7-4/7/2/7)-28/9·(1-3/7/1)
A_1B_1/B_1M=16/21·3/7-16/33+20/63+28/9·(-1/2)-28/63
A_1B_1/B_1M=-4/21
Отже, А1В1 = А1М + МВ1 = АМ - А1М + МВ1 = АС - ВС + МВ1. Підставляємо вирази для ВС і МВ1:
A_1B_1 = AC-B_1C+VB_1/MA-VM=7/3B_1B-7/4B_1C+4/21·(4/7B_1B-3/7B_1C)
A_1B_1 = 49/12B_1B-35/12B_1C=49/12·3/7· AB-35/12·4/7· AB=11/4 см