Question

Обчислити інтеграл частинами.

Answer 1

Решение .

Вычислить определённый интеграл .

Формула интегрирования по частям :

       $\bf \displaystyle \int\limits_{a}^{b}\, u\cdot dv=u\cdot v\, \Big|^{b}_{a}-\int\limits_{a}^{b}\, v\cdot du$   .

$\bf \displaystyle \int\limits_{0}^{1}\, x\cdot e^{3x}|,dx=\Big[\ u=x\ ,\ du=dx\ ,\ dv=e^{3x}\, dx\ ,\ v=\frac{1}{3}\, e^{3x}\ \Big]=\\\\\\=\frac{1}{3}\cdot x\, e^{3x}\,\Big|^{1}_{0}-\frac{1}{3}\int\limits_{0}^{1}\, e^{3x}\, dx=\frac{1}{3}\cdot x\, e^{3x}\,\Big|^{1}_{0}-\frac{1}{9}\, e^{3x}\, \Big|_0^1=\\\\\\=\frac{1}{3}\cdot e^3-0-\frac{1}{9}\cdot (e^3-e^0)= \frac{1}{3}\, e^3-\frac{1}{9}\, e^3+\frac{1}{9}=\frac{2}{9}\, e^3+\frac{1}{9}=\frac{2e^3+1}{9}$