Точки к i P середини сторін AB i AD паралелограма ABCD - відповідно. Виразіть вектор РК через вектори ВС=e i CD= d скажіть відповідь будьласка
Ответы
Відповідь:
Задача виглядає на геометричну та векторну комбінаторіку, а саме на використання властивостей векторів у геометричних фігурах. Давайте розглянемо паралелограм ABCD та позначимо точки:
- \( A \), \( B \), \( C \), \( D \) - вершини паралелограма.
- \( P \) - середина сторони \( AB \).
- \( K \) - середина сторони \( AD \).
Відомо, що \( P \) - середина сторони \( AB \), тобто \( \vec{AP} = \vec{PB} \). Аналогічно, \( K \) - середина сторони \( AD \), отже \( \vec{AK} = \vec{KD} \).
Також дано, що \( \vec{BC} = \vec{e} \) і \( \vec{CD} = \vec{d} \).
Тепер давайте виразимо вектор \( \vec{PK} \) через вектори \( \vec{BC} \) і \( \vec{CD} \). Знаючи, що \( \vec{AP} = \vec{PB} \) і \( \vec{AK} = \vec{KD} \), ми можемо використовувати властивості векторів для виведення виразу для \( \vec{PK} \):
\[ \vec{PK} = \vec{PA} + \vec{AK} \]
Тепер розглянемо вектор \( \vec{PA} \). Ми знаємо, що \( \vec{PA} = -\vec{PB} \) (оскільки вектор \( \vec{PA} \) є протилежним до вектора \( \vec{PB} \)).
\[ \vec{PA} = -\vec{PB} \]
Таким чином, ми можемо виразити вектор \( \vec{PK} \) як:
\[ \vec{PK} = -\vec{PB} + \vec{AK} \]
Тепер підставимо вирази для \( \vec{PB} \) та \( \vec{AK} \):
\[ \vec{PK} = -\left(\frac{1}{2}\vec{AB}\right) + \frac{1}{2}\vec{AD} \]
Але \( \vec{AB} = \vec{BC} + \vec{CD} \) (за властивістю векторів у паралелограмі), тому:
\[ \vec{PK} = -\left(\frac{1}{2}(\vec{BC} + \vec{CD})\right) + \frac{1}{2}\vec{AD} \]
Підставимо значення \( \vec{BC} = \vec{e} \) та \( \vec{CD} = \vec{d} \):
\[ \vec{PK} = -\left(\frac{1}{2}(\vec{e} + \vec{d})\right) + \frac{1}{2}\vec{AD} \]
Отже, вираз для вектора \( \vec{PK} \) через вектори \( \vec{e} \) та \( \vec{d} \) виглядає наступним чином:
\[ \vec{PK} = -\frac{1}{2}(\vec{e} + \vec{d}) + \frac{1}{2}\vec{AD} \]