Ответы
Ответ:
Давайте упростим данное выражение:
\(\frac{\sin^2(x)}{\sin^2(x) - 1} \cdot \cot^2(x)\)
Для начала рассмотрим отношение \(\frac{\sin^2(x)}{\sin^2(x) - 1}\). Представим его в виде суммы двух дробей:
\(\frac{\sin^2(x)}{\sin^2(x) - 1} = \frac{\sin^2(x)}{\sin^2(x) - 1} \cdot \frac{\sin^2(x) + 1}{\sin^2(x) + 1} = \frac{\sin^4(x) + \sin^2(x)}{\sin^4(x) - 1}\)
Теперь у нас получается:
\(\frac{\sin^4(x) + \sin^2(x)}{\sin^4(x) - 1} \cdot \cot^2(x)\)
Далее, заметим, что \(\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}\). Поэтому,
\(\frac{\sin^4(x) + \sin^2(x)}{\sin^4(x) - 1} \cdot \cot^2(x) = \frac{\sin^4(x) + \sin^2(x)}{\sin^4(x) - 1} \cdot \left(\frac{1}{\tan(x)}\right)^2 = \frac{\sin^4(x) + \sin^2(x)}{\sin^4(x) - 1} \cdot \frac{1}{\tan^2(x)}\)
Теперь мы можем записать \(\tan^2(x)\) в виде \(\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\):
\(\frac{\sin^4(x) + \sin^2(x)}{\sin^4(x) - 1} \cdot \frac{1}{\tan^2(x)} = \frac{\sin^4(x) + \sin^2(x)}{\sin^4(x) - 1} \cdot \frac{1}{\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}} = \frac{\sin^4(x) + \sin^2(x)}{\sin^4(x) - 1} \cdot \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)}\)
Теперь приведем общий знаменатель:
\(\frac{\sin^4(x) + \sin^2(x)}{\sin^4(x) - 1} \cdot \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} = \frac{\sin^4(x) + \sin^2(x)}{\sin^4(x) - 1} \cdot \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos^2(x)}}{\frac{1}{\cos^2(x)}} = \frac{\sin^4(x) + \sin^2(x)}{\sin^4(x) - 1} \cdot \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} \cdot \frac{1}{\cos^2(x)}\)
Теперь мы можем применить формулу тригонометрии \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\):
\(\frac{\sin^4(x) + \sin^2(x)}{\sin^4(x) - 1} \cdot \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} \cdot \frac{1}{\cos^2(x)} = \frac{(\sin^2(x) + \cos^2(x))^2 - \cos^2(x)}{\sin^4(x) - 1} \cdot \frac{1}{\sin^2(x) \cos^2(x)} = \frac{1 - \cos^2(x)}{\sin^4(x) - 1} \cdot \frac{1}{\sin^2(x) \cos^2(x)} = \frac{\sin^2(x)}{\sin^4(x) - 1} \cdot \frac{1}{\sin^2(x) \cos^2(x)}\)
На данном этапе мы видим, что \(\sin^2(x)\) сокращается:
\(\frac{\sin^2(x)}{\sin^4(x) - 1} \cdot \frac{1}{\sin^2(x) \cos^2(x)} = \frac{1}{\sin^4(x) - 1} \cdot \frac{1}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)(\sin^4(x) - 1)}\)
Таким образом, мы упростили исходное выражение до \(\frac{1}{\cos^2(x)(\sin^4(x) - 1)}\).