Question

найти соs2a, tg(a-п/4) если sin a=1/корень3, п/2<а<п

Answer 1

Ответ:

$\cos2a=\dfrac{1}{3}$

$\mathrm{tg}\left(a-\dfrac{\pi }{4} \right)=-3-2\sqrt{2}$

Решение:

По условию:

$\sin a=\dfrac{1}{\sqrt{3} } ,\ \dfrac{\pi }{2} < a < \pi$

По формуле косинуса двойного угла получим:

$\cos2a=1-2\sin^2a=1-2\cdot\left(\dfrac{1}{\sqrt{3} } \right)^2=1-2\cdot\dfrac{1}{3} =1-\dfrac{2}{3} =\boxed{\dfrac{1}{3}}$

По формуле тангенса разности получим:

$\mathrm{tg}\left(a-\dfrac{\pi }{4} \right)=\dfrac{\mathrm{tg}\,a-\mathrm{tg}\,\dfrac{\pi }{4} }{1+\mathrm{tg}\,a\,\mathrm{tg}\,\dfrac{\pi }{4} }$

Как видно, для нахождения требуемого значения необходимо найти значение $\mathrm{tg}\,a$.

Предварительно найдем значение $\cos a$. Так как $\dfrac{\pi }{2} < a < \pi$, то рассматриваемый угол - угол второй четверти, а косинус во второй четверти отрицателен.

Используем основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2a+\cos^2a=1$

$\cos^2a=1-\sin^2a$

$\cos a=-\sqrt{1-\sin^2a}$

$\cos a=-\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{\sqrt{3} }\right)^2} =-\sqrt{1-\dfrac{1}{3 }} =-\sqrt{\dfrac{2}{3 }}$

Находим значение $\mathrm{tg}\,a$:

$\mathrm{tg}\,a=\dfrac{\sin a}{\cos a}$

$\mathrm{tg}\,a=\dfrac{1}{\sqrt{3} }:\left(-\sqrt{\dfrac{2}{3 }}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{3} }\cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2} }\right)=-\dfrac{1}{\sqrt{2} }$

Тогда:

$\mathrm{tg}\left(a-\dfrac{\pi }{4} \right)=\dfrac{\mathrm{tg}\,a-\mathrm{tg}\,\dfrac{\pi }{4} }{1+\mathrm{tg}\,a\,\mathrm{tg}\,\dfrac{\pi }{4} }=\dfrac{-\dfrac{1}{\sqrt{2} } -1 }{1+\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2} }\right) \cdot1}=\dfrac{-\dfrac{1}{\sqrt{2} } -1 }{1-\dfrac{1}{\sqrt{2} }}=$

$=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2} } +1 }{\dfrac{1}{\sqrt{2}}-1}=\dfrac{1 +\sqrt{2} }{1-\sqrt{2}}=\dfrac{(1 +\sqrt{2})^2 }{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})}=\dfrac{1^2+2\cdot1\cdot\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2 }{1^2-(\sqrt{2})^2}=$

$=\dfrac{1+2\sqrt{2}+2 }{1-2}=\dfrac{3+2\sqrt{2} }{-1}=\boxed{-3-2\sqrt{2}}$

Элементы теории:

Основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2x+\cos^2x=1$

Формула косинуса двойного угла:

$\cos2x=\cos^2x-\sin^2x$

Формула тангенса разности:

$\mathrm{tg}\,(x-y)=\dfrac{\mathrm{tg}\,x-\mathrm{tg}\,y}{1+\mathrm{tg}\,x\,\mathrm{tg}\,y}$