В прямоугольном треугольнике ABC (C = 90°) средняя длина от вершины C до гипотенузы AB равна 8 дм. угол A равн 30 градусам. Длина катета BC, расположенного напротив него, составит
Ответы
Ответ:
Решение:
Пусть средняя длина от вершины C до гипотенузы AB равна $x$. Тогда, согласно теореме Пифагора,
```
AC^2 = x^2 + BC^2
```
```
BC^2 = AC^2 - x^2
```
Также, известно, что $AC = AB\sin A = AB\sin 30^\circ = \frac{AB}{2}$. Подставляя эти значения в предыдущее уравнение, получим:
```
BC^2 = \left(\frac{AB}{2}\right)^2 - x^2
```
```
BC^2 = \frac{AB^2}{4} - x^2
```
Также известно, что $AB = BC\sqrt{3}$, поэтому
```
BC^2 = \frac{BC^2\cdot 3}{4} - x^2
```
```
3BC^2 = BC^2 - 4x^2
```
```
4x^2 = 2BC^2
```
```
x^2 = \frac{1}{2}BC^2
```
```
x = \sqrt{\frac{1}{2}BC^2}
```
```
x = \frac{BC}{\sqrt{2}}
```
Так как $x = 8$, то
```
BC = 8\sqrt{2}
```
Ответ: **длина катета BC, расположенного напротив угла A, равна $8\sqrt{2}$ дм**.
Альтернативное решение:
Пусть $M$ - середина гипотенузы $AB$. Тогда, согласно теореме Пифагора,
```
AM^2 = CM^2 + BM^2
```
```
8^2 = CM^2 + BM^2
```
Также, известно, что $AM = \frac{AB}{2}$. Подставляя эти значения в предыдущее уравнение, получим:
```
64 = CM^2 + BM^2
```
Так как $CM + BM = BC$, то $CM^2 + BM^2 = BC^2$. Подставляя это значение в предыдущее уравнение, получим:
```
BC^2 = 64
```
```
BC = 8\sqrt{2}
```
Ответ: **длина катета BC, расположенного напротив угла A, равна 8√2дм