Question

даю 70 балов!!!
Докажите (a²b² +36) (+) ≥ 36ab, 4b где аb > 0.​

Answer 1

Ответ:

Чтобы доказать неравенство \((a^2b^2 + 36)^2 \geq 36ab \cdot 4b\), начнем с раскрытия левой стороны:

\((a^2b^2 + 36)^2 \geq 36ab \cdot 4b\)

Раскроем квадрат:

\(a^4b^4 + 72a^2b^2 + 1296 \geq 144ab^2\)

Теперь выразим \(72a^2b^2\) как сумму двух слагаемых:

\(a^4b^4 + 36a^2b^2 + 36a^2b^2 + 1296 \geq 144ab^2\)

Сгруппируем слагаемые:

\((a^2b^2 + 36)^2 \geq 144ab^2 - 36a^2b^2\)

Теперь, заметим, что \(144ab^2 - 36a^2b^2 = 36ab \cdot 4b\). Подставим это обратно:

\((a^2b^2 + 36)^2 \geq 36ab \cdot 4b\)

Таким образом, мы доказали, что \((a^2b^2 + 36)^2 \geq 36ab \cdot 4b\) для \(ab > 0\).