Question

Координаты точки С(х;у), делящнй в заданном отношении λ отрезок между точками А(х_1;у_1) и В(х_2;у_2) определяются по формуле:

Answer 1

Ответ:

$x=\dfrac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda};\ y=\dfrac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}\right$

Решение:

По условию:

$A(x_1;\ y_1);\ B(x_2;\ y_2);\ C(x;\ y)$

Рассмотрим векторы $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$:

$\vec{AC}=\{x-x_1;\ y-y_1\}$

$\vec{CB}=\{x_2-x;\ y_2-y\}$

Поскольку точка C делит в отношении λ отрезок AB, то:

$\dfrac{AC}{CB} =\lambda$

Но поскольку отрезок делится в отношении λ, то и его проекции на ось x и на ось y также делятся в отношении λ. Полученные проекции соответствуют координатам записанных выше векторов. То есть:

$\dfrac{x-x_1}{x_2-x} =\lambda;\ \dfrac{y-y_1}{y_2-y} =\lambda$

Из первого соотношения получим:

$x-x_1=\lambda(x_2-x)$

$x-x_1=\lambda x_2-\lambda x$

$x+\lambda x=x_1+\lambda x_2$

$x(1+\lambda)=x_1+\lambda x_2$

$\boxed{x=\dfrac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}}$

Из второго соотношения полностью аналогично получим:

$\boxed{y=\dfrac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}}$