Question

Знайдіть усі пари натуральних чисел (a, b), де а - двоцифрове, а в трицифрове число, що задовольняють такі умови: a²b+a: a² + b та ab²+b: b2-a. У відповіді напишіть суму елементів а + в тієї пари, у якої значення числа в найбільше з можливих.

Answer 1

Ответ:

199

Пошаговое объяснение:

Поскольку и $a^2b+a$, и $b(a^2+b)=a^2b+b^2$ делятся на $a^2+b$, их разность $b^2-a$ также делится на $a^2+b$.

С другой стороны, поскольку и $ab^2+b$, и $a(b^2-a)=ab^2-a^2$ делятся на $b^2-a$, их разность $a^2+b$ делится на $b^2-a$.

Два числа делятся друг на друга одновременно тогда и только тогда, когда они равны.

Следовательно, $a^2+b=b^2-a$. Решим это уравнение:

$a^2+b=b^2-a\\a^2+b-b^2+a=0\\a^2-b^2+b+a=0\\(a-b)(a+b)+(a+b)=0\\(a-b-1)(a+b)=0$

То есть, либо $a-b-1=0$, откуда $b=a+1$, либо $a+b=0$, откуда $b=-a$. Поскольку мы рассматриваем только натуральные числа, второй вариант отбрасываем.

Следовательно, $b=a+1$, а поскольку $a$ двухзначное, а $b$ трёхзначное, получим единственое решение $a,b=(99,100)$.

99+100 = 199, следовательно в поле ответа надо записать 199.