Question

Знайти середнє значення функції.

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle A(x) = \frac{1}{2}$

Объяснение:

$\displaystyle A(x)=\frac{\int\limits^\pi_0 {sin^2(x)} \, dx }{\pi -0}$

Рассмотрим интеграл

$\displaystyle \int\limits^\pi _0 {sin^2(x)} \, dx \\\\\\sin^2(x) = \frac{1}{2} -\frac{1}{2} cos(2x)\\\\\\\int\limits^\pi _0 {\bigg(\frac{1}{2} \bigg)} \, dx -\int\limits^\pi _0 {\bigg(\frac{1}{2} cos(2x)\bigg)} \, dx =\frac{x}{2} \bigg|_0^\pi -\frac{1}{2} \left[\begin{array}{ccc}u=2[\quad du=2dx\\u_{low}=2*0=0 \hfill\\u_{up}=2*\pi =2\pi \end{array}\right] =$

$\displaystyle = \frac{\pi }{2} -\frac{1}{4} \int\limits^{2\pi }_0 {cos(u)} \, du=\frac{\pi }{2} -\frac{sin(u)}{4} \bigg |_0^{2\pi }=\frac{\pi }{2} -\bigg(\frac{sin(2\pi) }{4} -\frac{sin(0)}{4} \bigg)=\frac{\pi }{2}$

теперь среднее значение

$\displaystyle A(x) = \frac{\displaystyle \frac{\pi }{2} }{\pi } =\frac{1}{2}$