Ответы
**Розв'язання**
**1. Розв'яжіть систему рівнянь матричним методом**
Система рівнянь може бути записана у матричному вигляді:
```
[A|B] * x = [C]
```
де
```
A =
[1 -1 4
3 -1 5
2 2 1]
```
```
B =
[3
-2
4]
```
```
C =
[1
2
-3]
```
Для вирішення цієї системи необхідно знайти обернену матрицю A.
```
A-1 =
[5/3 -2/3 -4/3
-1/3 2/3 1/3
-2/3 1/3 1/3]
```
Тоді рішення системи рівнянь можна знайти за формулою:
```
x = A-1 * B
```
```
x =
[5/3 -2/3 -4/3
-1/3 2/3 1/3
-2/3 1/3 1/3] *
[3
-2
4]
```
```
x =
[1
2
-3]
```
Отже, рішення системи рівнянь є:
```
x = [1, 2, -3]
```
**2. Знайдіть границю, не користуючись правилом Лопіталя**
```
lim
x→0
5+3x/4x-3
```
Оскільки при x→0 знаменник 4x-3→0, то границю можна знайти, розрахувавши ліміт відношенням чисел, що дорівнюють значенням функції при x→0 і x→0+:
```
lim
x→0
5+3x/4x-3 =
[5+3(0)]/[4(0)-3] =
[5]/[-3] =
-5/3
```
Отже, границя дорівнює **-5/3**.
**3. Знайдіть похідну**
```
y = In(5x+z)
```
Похідна функції In(x) дорівнює 1/x. Отже, похідна заданої функції дорівнює:
```
dy/dx =
d/dx
[In(5x+z)]
=
1/(5x+z)
```
**4. Знайдіть інтеграл**
```
I =
∫
4x²+1
(x-3)(x+4)
dx
```
Для вирішення цього інтегралу можна скористатися методом розкладу на множники:
```
(x-3)(x+4) = x²-x-12
```
Тоді інтеграл можна записати у вигляді:
```
I =
∫
4x²+1
x²-x-12
dx
=
∫
4x²+1
x²
dx
-
∫
4x²+1
x
dx
-
∫
4x²+1
-12
dx
```
Перші два інтеграли можна знайти за формулою Ньютона-Лейбніца:
```
∫
xⁿ
dx
=
xⁿ+1/ⁿ+1
```
Тоді інтеграл можна записати у вигляді:
```
I =
[4x³/3
-2x²/2
-4x²/2
+12x]
+ C
=
8x³/3
-4x²
+12x
+ C
```
де C - постійна інтегрування.
Отже, значення інтегралу дорівнює:
```
I =
8x³/3
-4x²
+12x
+ C
```