5. Бісектриса АЕ трикутника ABC ділить сторону BC навпіл. Знайдіть кути трикутника, якщо АC = 2AB.
Ответы
Відповідь:
Пояснення:
Позначимо кути трикутника ABC через A, B і C відповідно. За теоремою про бісектрису, ми знаємо, що кут AEB дорівнює половині кута ABC. Також, за умовою задачі, ми маємо АС = 2АВ.
Розглянемо трикутники AEB і AEC. Вони мають спільний бік AE і рівні сторони АВ і АС відповідно. Тому вони є подібними за принципом БОК (бік-протилежний кут). Звідси випливає, що кут AEC дорівнює куту AEB, помноженому на коефіцієнт подібності:
∠ AEC = ∠ AEB ·AC/AB = 1/2∠ ABC ·2AB/AB = 1/2∠ ABC
Тепер ми можемо скласти рівняння для суми кутів трикутника:
∠ A + ∠ B + ∠ C = 180^∘
Замінюємо кут C за теоремою про суму кутів в трикутнику:
∠ A + ∠ B + 1/2∠ ABC = 180^∘
Замінюємо кут ABC за формулою, яка випливає з умови задачі:
∠ A + ∠ B + ∠ AEB = 180^∘
Замінюємо кут AEB за теоремою про бісектрису:
∠ A + ∠ B + 2·1/2∠ ABC = 180^∘
Скорочуємо дужки:
∠ A + ∠ B + ∠ ABC = 180^∘
Отже, сума кутів трикутника ABC дорівнює 180 градусам.
Відповідь: кути трикутника дорівнюють ∠ A = 40^∘, ∠ B = 70^∘ та ∠ C = 70^∘.