Ответы
Ответ:
Вам даны углы треугольника (угол В = 60°, угол С = 45°) и сторона А = 20.
Чтобы найти остальные стороны треугольника и угол A, воспользуемся теоремой синусов и основными свойствами треугольников.
Теорема синусов гласит: соотношение между сторонами треугольника и соответствующими им углами связано следующим образом:
a/sinA = b/sinB = c/sinC
1) Найдем сторону В:
a/sinA = b/sinB
20/sinA = b/sin60°
sinA = sin(180° - 60° - A) [заменяем угол B из суммы углов треугольника]
sinA = sin(120° - A) [так как sin(180° - x) = sin(x)]
sinA = sin(120°)cosA - cos(120°)sinA [формула для sin(A - B)]
sinA + sinAcos(120°) = sin(120°)cosA
sinA(1 + cos(120°)) = sin(120°)cosA
sinA = sin(120°)cosA / (1 + cos(120°))
sinA = (√3/2) * cosA / (1 - 1/2)
sinA = (√3/2) * 2cosA / (2 - 1)
sinA = √3 * cosA
Таким образом, sinA = √3 * cosA
Для этого уравнения существует два возможных значения угла A: 60° и 150°.
2) Пользуясь данным углом С = 45° и стороной A = 20, найдем сторону С:
a/sinA = c/sinC
20/sinA = c/sin45°
sinA = sin(180° - A) [заменяем угол C из суммы углов треугольника]
sinA = sin(180° - 45° - A) [заменяем угол C = 45°]
sinA = sin(135° - A)
sinA = sin(90° + 45° - A) [так как sin(x + 90°) = cos(x)]
sinA = sin(90°)cos(45° - A) + cos(90°)sin(45° - A) [формула для sin(A + B)]
sinA = cos(45° - A)
Таким образом, cos(45° - A) = sinA
Из этого уравнения следует, что 45° - A = 90° - A
Решив это уравнение, мы получаем A = 45°.
Теперь, зная угол A = 45°, мы можем рассчитать сторону В, используя теорему синусов:
a/sinA = b/sinB
20/sin45° = b/sin60°
b = 20 * sin60° / sin45°
b = 20 * (√3/2) / (√2/2)
b = 20 * √3 / √2
b = 10√6
Также, сторона C равна 20 (дана).
Таким образом, сторона B = 10√6, сторона C = 20 и угол A = 45°.