Алина выбрала три различные цифры и записала на доске всевозможные различные трехзначные натуральные числа, составленные из выбранных цифр (в записи этих чисел все цифры различны). Сложив все числа, Алина получила сумму 3587. Затем Алина стерла числа с доски и предложила Полине по сумме чисел выяснить, какие цифры были выбраны. Сможет ли Полина это сделать?
Ответы
Відповідь:
Покрокове пояснення:
Да, Полина сможет выяснить, какие цифры были выбраны. Рассмотрим следующий метод:
Пусть выбранные цифры обозначены как
�
a,
�
b и
�
c.
Так как трехзначные числа должны быть различными, каждая цифра должна использоваться в каждом из разрядов (единицы, десятки и сотни) ровно один раз.
Таким образом, мы можем составить уравнения на основе суммы чисел:
�
+
�
+
�
=
3587.
a+b+c=3587.
Теперь рассмотрим ограничения для каждой цифры:
Для сотен (первой цифры) сумма всех возможных значений равна
100
�
+
100
�
+
100
�
=
100
(
�
+
�
+
�
)
=
100
×
3587.
100a+100b+100c=100(a+b+c)=100×3587.
Для десятков (второй цифры) сумма всех возможных значений равна
10
�
+
10
�
+
10
�
=
10
(
�
+
�
+
�
)
=
10
×
3587.
10a+10b+10c=10(a+b+c)=10×3587.
Для единиц (третьей цифры) сумма всех возможных значений равна
�
+
�
+
�
=
3587.
a+b+c=3587.
Теперь мы имеем систему уравнений, которую можно решить:
�
+
�
+
�
=
3587
,
100
(
�
+
�
+
�
)
=
100
×
3587
,
10
(
�
+
�
+
�
)
=
10
×
3587.
a+b+c
100(a+b+c)
10(a+b+c)
=3587,
=100×3587,
=10×3587.
Решив эту систему, Полина сможет определить значения
�
a,
�
b и
�
c, то есть три выбранные цифры.