4.10.2. Диск радіусом R=0,2 м обертається так, що залежність кута повороту його радіуса від часу задається рiвнянням: Q = A+ Bt+Dt3, де A= В=-1 рад/с, C = 0,1 рад/с3. Визначити 1) кутову швидкість, 2) прискорення, 3) тангенціальне, 4) нормальне i 5) повне прискорення точок на краю диска в момент часу 1 = 10 с. (29 с¹; 6 с²; 1,2 м/с²; 168 м/с²; 168 м/с)
Ответы
Объяснение:
Дано:
Радіус диска: R = 0,2 м
Рівняння залежності кута повороту від часу: Q = A + Bt + Dt^3, де A = B = -1 рад/с, C = 0,1 рад/с^3
Час: t = 10 с
Шукано:
1) Кутова швидкість
2) Прискорення
3) Тангенціальна складова прискорення
4) Нормальна складова прискорення
5) Повне прискорення точок на краю диска в момент часу t = 10 с
Розв'язання:
1) Кутова швидкість:
Відомо, що кутова швидкість - це похідна кута повороту за час. Знайдемо похідну від рівняння Q по відношенню до t:
ω = dQ/dt = d(A + Bt + Dt^3)/dt = B + 3Dt^2
Підставимо значення B = -1 та D = 0,1 рад/с^3:
ω = -1 + 3 * 0,1 * t^2 = -1 + 0,3 * t^2
Підставимо значення t = 10 с:
ω = -1 + 0,3 * 10^2 = -1 + 0,3 * 100 = -1 + 30 = 29 рад/с
Відповідь: Кутова швидкість дорівнює 29 рад/с.
2) Прискорення:
Відомо, що прискорення - це похідна кутової швидкості за час. Знайдемо похідну від рівняння ω по відношенню до t:
α = dω/dt = d(-1 + 0,3 * t^2)/dt = 0,3 * d(t^2)/dt = 0,3 * 2t = 0,6t
Підставимо значення t = 10 с:
α = 0,6 * 10 = 6 с²
Відповідь: Прискорення дорівнює 6 с².
3) Тангенціальна складова прискорення:
Тангенціальна складова прискорення - це друга похідна кута повороту за час. Знайдемо другу похідну від рівняння Q по відношенню до t:
a_t = d^2Q/dt^2 = d(0,6t)/dt = 0,6
Відповідь: Тангенціальна складова прискорення дорівнює 0,6 м/с².
4) Нормальна складова прискорення:
Нормальна складова прискорення - це кількість нормальних сил, що діють на точку на краю диска. Вона дорівнює R * ω^2, де R - радіус диска, ω - кутова швидкість.
Підставимо значення R = 0,2 м і ω = 29 рад/с:
a_n = R * ω^2 = 0,2 * 29^2 = 0,2 * 841 = 168,2 м/с²
Відповідь: Нормальна складова прискорення дорівнює 168,2 м/с².
5) Повне прискорення точок на краю диска в момент часу t = 10 с:
Повне прискорення - це векторна сума тангенціальної та нормальної складових прискорення.
За попередніми результатами:
a_t = 0,6 м/с²
a_n = 168,2 м/с²
Використовуючи теорему Піфагора, знайдемо величину повного прискорення:
a = √(a_t^2 + a_n^2) = √(0,6^2 + 168,2^2) ≈ 168,2 м/с
Відповідь: Повне прискорення точок на краю диска в момент часу 10 с дорівнює приблизно 168,2 м/с.