Question

Із точки А до площини а проведено перпендикуляр AD та похилі АВ і АС. Похила АВ на 8 см довша за похилу АС.
Проекції похилих на площину а дорівнюють 20 см і 8 см.
Знайдіть відстань від точки А до площини а.

Answer 1

Ответ:

Позначимо відстань від точки А до площини а як h.

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику ABD маємо:

AB^2 = AD^2 + BD^2

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику ACD маємо:

AC^2 = AD^2 + CD^2

Ми знаємо, що проекції похилих на площину а дорівнюють 20 см і 8 см, тобто BD = 20 см і CD = 8 см.

Також, за умовою задачі, похила АВ на 8 см довша за похилу АС, тобто AB = AC + 8.

Підставляємо ці значення у рівності для AB^2 і AC^2:

(AC + 8)^2 = AD^2 + 20^2

AC^2 + 16AC + 64 = AD^2 + 400

Також, ми знаємо, що проекція похилої АВ на площину а дорівнює 20 см, тобто AB*sin(θ) = 20, де θ - кут між похилою АВ і площиною а.

Ми можемо виразити синус цього кута за допомогою проекцій:

sin(θ) = AC / AB

Підставляємо значення для AB і AC, які ми вже маємо:

sin(θ) = AC / (AC + 8)

За теоремою синусів в прямокутному трикутнику ACD маємо:

sin(θ) = CD / AC

Підставляємо значення для CD:

AC / (AC + 8) = 8 / AC

Розв'язуємо це рівняння:

AC^2 + 8AC = 64(AC + 8)

AC^2 + 8AC = 64AC + 512

AC^2 - 56AC - 512 = 0

Знаходимо корені цього квадратного рівняння:

(AC - 64)(AC + 8) = 0

Отримуємо два варіанти:

1) AC - 64 = 0

AC = 64

2) AC + 8 = 0

AC = -8

Очевидно, відстань до площини а не може бути від'ємною, тому вибираємо AC = 64.

Підставляємо значення AC у рівняння для AD^2:

(64 + 8)^2 = AD^2 + 400

72^2 - 400 = AD^2

5184 - 400 = AD^2

4784 = AD^2

AD = √4784

AD ≈ 69.2

Отже, відстань від точки А до площини а близько 69.2 см.

Пошаговое объяснение: