Із точки А до площини а проведено перпендикуляр AD та похилі АВ і АС. Похила АВ на 8 см довша за похилу АС.
Проекції похилих на площину а дорівнюють 20 см і 8 см.
Знайдіть відстань від точки А до площини а.
Ответы
Ответ:
Позначимо відстань від точки А до площини а як h.
За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику ABD маємо:
AB^2 = AD^2 + BD^2
За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику ACD маємо:
AC^2 = AD^2 + CD^2
Ми знаємо, що проекції похилих на площину а дорівнюють 20 см і 8 см, тобто BD = 20 см і CD = 8 см.
Також, за умовою задачі, похила АВ на 8 см довша за похилу АС, тобто AB = AC + 8.
Підставляємо ці значення у рівності для AB^2 і AC^2:
(AC + 8)^2 = AD^2 + 20^2
AC^2 + 16AC + 64 = AD^2 + 400
Також, ми знаємо, що проекція похилої АВ на площину а дорівнює 20 см, тобто AB*sin(θ) = 20, де θ - кут між похилою АВ і площиною а.
Ми можемо виразити синус цього кута за допомогою проекцій:
sin(θ) = AC / AB
Підставляємо значення для AB і AC, які ми вже маємо:
sin(θ) = AC / (AC + 8)
За теоремою синусів в прямокутному трикутнику ACD маємо:
sin(θ) = CD / AC
Підставляємо значення для CD:
AC / (AC + 8) = 8 / AC
Розв'язуємо це рівняння:
AC^2 + 8AC = 64(AC + 8)
AC^2 + 8AC = 64AC + 512
AC^2 - 56AC - 512 = 0
Знаходимо корені цього квадратного рівняння:
(AC - 64)(AC + 8) = 0
Отримуємо два варіанти:
1) AC - 64 = 0
AC = 64
2) AC + 8 = 0
AC = -8
Очевидно, відстань до площини а не може бути від'ємною, тому вибираємо AC = 64.
Підставляємо значення AC у рівняння для AD^2:
(64 + 8)^2 = AD^2 + 400
72^2 - 400 = AD^2
5184 - 400 = AD^2
4784 = AD^2
AD = √4784
AD ≈ 69.2
Отже, відстань від точки А до площини а близько 69.2 см.
Пошаговое объяснение: