Question

Ємність конденсатора коливального контуру 0,2 мкФ, а амплітуда коливань напруги 40 В. Знайдіть енергію електричного поля конденсатора й магнітного поля котушки в той момент, коли напруга на пластинах конденсатора буде в чотири рази менша її максимального значення.​

Answer 1

Енергію електричного поля (W_el) конденсатора можна знайти за формулою:

�

�

�

=

1

2

�

�

2

W

e

​

l=

2

1

​

CU

2

де:

�

C - ємність конденсатора,

�

U - напруга на конденсаторі.

Для заданого конденсатора:

�

=

0

,

2

 

�

�

=

2

×

1

0

−

7

�

C=0,2μF=2×10

−7

F

�

=

40

 

�

U=40V (максимальне значення напруги).

Підставимо значення у формулу:

�

�

�

=

1

2

×

2

×

1

0

−

7

 

�

×

(

40

 

�

)

2

W

e

​

l=

2

1

​

×2×10

−7

F×(40V)

2

�

�

�

=

1

×

1

0

−

7

 

�

×

1600

 

�

2

W

e

​

l=1×10

−7

F×1600V

2

�

�

�

=

1

,

6

×

1

0

−

4

 

�

W

e

​

l=1,6×10

−4

J

Тепер, коли напруга на пластинах конденсатора буде в чотири рази менша за максимальне значення (тобто

�

′

=

1

4

�

U

′

=

4

1

​

U), енергію електричного поля можна знайти аналогічно:

�

�

�

′

=

1

2

�

(

�

′

)

2

W

e

​

l

′

=

2

1

​

C(U

′

)

2

�

�

�

′

=

1

2

×

2

×

1

0

−

7

 

�

×

(

1

4

×

40

 

�

)

2

W

e

​

l

′

=

2

1

​

×2×10

−7

F×(

4

1

​

×40V)

2

�

�

�

′

=

1

×

1

0

−

7

 

�

×

10

 

�

2

W

e

​

l

′

=1×10

−7

F×10V

2

�

�

�

′

=

1

×

1

0

−

6

 

�

W

e

​

l

′

=1×10

−6

J

Таким чином, енергія електричного поля конденсатора в зазначений момент становитиме

1

×

1

0

−

6

 

�

1×10

−6

J.

Тепер, щоб знайти енергію магнітного поля (W_mag) котушки, можна скористатися відомим виразом для енергії магнітного поля в котушці:

�

�

�

�

=

1

2

�

�

2

W

m

​

ag=

2

1

​

LI

2

де:

�

L - індуктивність котушки,

�

I - сила струму в котушці.

Оскільки коливальний контур, ймовірно, має максимальний струм в той момент, коли напруга на конденсаторі максимальна, використаємо значення

�

=

40

 

�

U=40V.

Тепер, використовуючи формулу зв'язку між індуктивністю, ємністю та частотою в коливальному контурі:

�

=

1

�

�

ω=

LC

​

1

​

де:

�

ω - кутова частота,

�

L - індуктивність,

�

C - ємність.

Знайдемо

�

ω:

�

=

1

2

×

1

0

−

7

 

�

×

2

×

1

0

−

7

 

�

ω=

2×10

−7

F×2×10

−7

F

​

1

​

�

≈

22360

 

�

�

�

/

�

ω≈22360rad/s

Тепер можна знайти індуктивність

�

L:

�

=

1

2

×

2

×

1

0

−

7

 

�

×

(

22360

 

�

�

�

/

�

)

2

L=

2

1

​

×2×10

−7

F×(22360rad/s)

2

�

≈

0

,

05

 

�

L≈0,05H

Тепер можемо знайти силу струму

�

I за допомогою виразу:

�

=

�

�

�

I=

ωL

U

​

�

=

40

 

�

22360

 

�

�

�

/

�

×

0

,

05

 

�

I=

22360rad/s×0,05H

40V

​

�

≈

0

,

09

 

�

I≈0,09A

Тепер підставимо значення в формулу для енергії магнітного поля:

�

�

�

�

=

1

2

×

0

,

05

 

�

×

(

0

,

09

 

�

)

2

W

m

​

ag=

2

1

​

×0,05H×(0,09A)

2

�

�

�

�

≈

0

,

0002025

 

�

W

m

​

ag≈0,0002025J

Отже, енергія магнітного поля котушки в зазначений момент становитиме приблизно

0

,

0002025

 

�

0,0002025J.

Пояснення: