Question

Исследуйте, существует ли бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, первый член которой в 10 раз больше суммы всех остальных её членов. Если существует, то приведите прииер такой последовательности. ​

Answer 1

Ответ:

Указанная бесконечно убывающая геометрическая прогрессия существует, ее знаменатель равен 1/11. Примеры таких прогрессий:

$22;\ 2;\ \dfrac{2}{11} ;\ \ldots$

$1;\ \dfrac{1}{11};\ \dfrac{1}{121} ;\ \ldots$

Решение:

Если существует такая бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, первый член которой в 10 раз больше суммы всех остальных её членов, то выполняется соотношение:

$b_1=10\cdot\overline{S_1}$, где $\overline{S_1}$ - сумма всех членов прогрессии, кроме первого

Найти сумму всех членов прогрессии, кроме первого, и, как следствие, решить задачу можно двумя способами:

Первый способ.

Найдем сумму всех членов прогрессии, кроме первого, непосредственным вычитанием из суммы всех членов прогрессии значения первого члена:

$\overline{S_1}=S-b_1$

Тогда:

$b_1=10(S-b_1)$

Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, получим:

$b_1=10\left(\dfrac{b_1}{1-q} -b_1\right)$

Поскольку первый член прогрессии - ненулевое число, то обе части соотношения разделим на $b_1$:

$10\left(\dfrac{1}{1-q} -1\right)=1$

$\dfrac{1}{1-q} -1=\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{1}{1-q} =1+\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{1}{1-q} =\dfrac{11}{10}$

$1-q =\dfrac{10}{11}$

$q=1-\dfrac{10}{11}$

$\boxed{q=\dfrac{1}{11} }$

Таким образом, интересующая нас геометрическая прогрессия имеет знаменатель, равный 1/11. Выберем в качестве первого члена этой прогрессии число 22 и получим пример такой прогрессии:

$\underline{22;\ 2;\ \dfrac{2}{11} ;\ \ldots}$

Второй способ.

Можно заметить, что все члены исходной прогрессии, кроме первого, также образуют геометрическую прогрессию, причем первый ее член равен $b_2$, а знаменатель совпадает со знаменателем исходной прогрессии. По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$\overline{S_1}=\dfrac{b_2}{1-q}$

Тогда:

$b_1=10\cdot \dfrac{b_2}{1-q}$

$b_1=10\cdot \dfrac{b_1q}{1-q}$

Поскольку первый член прогрессии - ненулевое число, то обе части соотношения разделим на $b_1$:

$\dfrac{10q}{1-q}=1$

$10q=1-q$

$10q+q=1$

$11q=1$

$\boxed{q=\dfrac{1}{11} }$

Выберем в качестве первого члена этой прогрессии число 1 и получим пример такой прогрессии:

$\underline{1;\ \dfrac{1}{11};\ \dfrac{1}{121} ;\ \ldots}$

Элементы теории:

Формула n-ого члена геометрической прогрессии:

$b_n=b_1q^{n-1}$

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$S=\dfrac{b_1}{1-q}$

Answer 2

Ответ:

Указанная бесконечно убывающая геометрическая прогрессия существует, ее знаменатель равен 1/11. Примеры таких прогрессий:

Решение:

Если существует такая бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, первый член которой в 10 раз больше суммы всех остальных её членов, то выполняется соотношение:

, где  - сумма всех членов прогрессии, кроме первого

Найти сумму всех членов прогрессии, кроме первого, и, как следствие, решить задачу можно двумя способами:

Первый способ.

Найдем сумму всех членов прогрессии, кроме первого, непосредственным вычитанием из суммы всех членов прогрессии значения первого члена:

Тогда:

Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, получим:

Поскольку первый член прогрессии - ненулевое число, то обе части соотношения разделим на :

Таким образом, интересующая нас геометрическая прогрессия имеет знаменатель, равный 1/11. Выберем в качестве первого члена этой прогрессии число 22 и получим пример такой прогрессии:

Второй способ.

Можно заметить, что все члены исходной прогрессии, кроме первого, также образуют геометрическую прогрессию, причем первый ее член равен , а знаменатель совпадает со знаменателем исходной прогрессии. По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Тогда:

Поскольку первый член прогрессии - ненулевое число, то обе части соотношения разделим на :

Выберем в качестве первого члена этой прогрессии число 1 и получим пример такой прогрессии:

Элементы теории:

Формула n-ого члена геометрической прогрессии:

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Объяснение: