2. Дано: ABCD – рівнобічна трапеція, AB = CD, BC = 17 см, AD = 23 см. Знайти висоту трапеції, якщо її діагоналі перпендикулярні. с фото
Ответы
Ответ:
Спочатку знайдемо довжину бічної сторони трапеції. Оскільки трапеція ABCD рівнобічна, то AB = CD, тому BC = AD - 2AB. З формули Піфагора для прямокутного трикутника ACD знаходимо довжину діагоналі AC:
AC² = AD² + CD²
AC² = 23² + AB²
AC² = 23² + (BC + AB)²
AC² = 23² + (17 + AB)²
Аналогічно з формули Піфагора для прямокутного трикутника BCD знаходимо довжину діагоналі BD:
BD² = BC² + CD²
BD² = 17² + AB²
BD² = 17² + (AD - BC)²
BD² = 17² + (23 - AB - 17)²
Оскільки діагоналі перпендикулярні, то вони ділять трапецію на чотири прямокутних трикутники. Позначимо висоту трапеції як h. Тоді за теоремою Піфагора для трикутника ABC з діагоналями AC і BD:
h² = AC² - (AB + BD)²/4
h² = (23² + (17 + AB)²) - ((AB + BD)²)/4
h² = (23² + (17 + AB)²) - ((AB² + 2AB(23 - AB - 17) + (23 - AB - 17)²))/4
h² = (23² + (17 + AB)²) - ((5AB² - 92AB + 576))/4
h² = (23² + (17 + AB)²) - (5/4)(AB² - 18AB + 115.2)
Для знаходження висоти потрібно знайти значення AB, яке задовольняє умову перпендикулярності діагоналей. З формули для довжини діагоналі AC маємо:
AC² = 23² + (17 + AB)²
AC² = 23² + 289 + 34AB + AB²
AC = sqrt(23² + 289 + 34AB + AB²)
З формули для довжини діагоналі BD маємо:
BD² = 17² + AB²
BD = sqrt(289 + AB²)
Оскільки діагоналі перпендикулярні, то їхній добуток дорівнює площі трапеції:
AC * BD = (AB + CD) * h
Підставляємо значення для AC і BD, використовуючи формули, отримані раніше:
(sqrt(23² + 289 + 34AB + AB²)) * (sqrt(289 + AB²)) = (AB + CD) * h
(sqrt(23² + 289 + 34AB + AB²)) * (sqrt(289 + AB²)) = (2AB + 17) * h
Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату:
23² + 289 + 34AB + AB² * 289 + AB² = (2AB + 17)² * h²
23² + 289 + 34AB + AB² * 289 + AB² = 4AB²h² + 68ABh + 289h²
Складаємо квадратне рівняння відносно h²:
(AB² - 4AB²)h² - (68AB)h + (23² + 289 + AB² * 289 - 289) = 0
-3AB²h² - (68AB)h + (23² + AB² * 289) = 0
З цього рівняння можна знайти значення h, яке буде висотою трапеції.