Question

У рівнобедреному трикутнику АВС, з основою АС, провели бісектриси до точок перетину з бічними сторонами- АМ і АК. Доведіть, що АК= СМ.​

Answer 1

Ответ:

спробуємо довести, що АК = СМ у рівнобедреному трикутнику АВС.

Оскільки АВС - рівнобедрений трикутник з основою АС, ми знаємо, що АВ = ВС.

Також, оскільки АМ - бісектриса кута ВАС, то кут МАВ = кут МАС.

Аналогічно, оскільки АК - бісектриса кута ВАС, кут КАВ = кут КАС.

Оскільки сума кутів в трикутнику дорівнює 180 градусам, представимо це в рівняні:

кут МАВ + кут МАС + кут КАВ + кут КАС + кут САВ + кут САМ = 180°

Так як кут МАВ = кут МАС і кут КАВ = кут КАС, ми можемо замінити:

2 * кут МАВ + 2 * кут КАВ + кут САВ + кут САМ = 180°

Також, кут САВ і кут САМ є суміжними кутами, тому вони разом становлять кут САК, що дорівнює куту ВАК. Ми можемо замінити це в рівняні:

2 * кут МАВ + 2 * кут КАВ + кут ВАК = 180°

Так як кут МАВ = кут МАС і кут КАВ = кут КАС, ми можемо далі спростити:

2 * кут МАС + 2 * кут КАС + кут ВАК = 180°

За визначенням бісектриси, кути МАС і КАС є рівними, тому:

4 * кут МАС + кут ВАК = 180°

З урахуванням того, що кут САВ є вертикальним кутом до основи АМС, ми можемо записати:

4 * кут МАС + кут ВАК = 180°

Також, оскільки ми знаємо, що АВ = ВС, то кути АВК і ВАК також є рівними, а тому:

4 * кут МАС + кут ВАК = 180° = 2 * кут ВАК

Тепер розглянемо рівність:

4 * кут МАС + кут ВАК = 2 * кут ВАК

Зменшимо обидві сторони на кут ВАК:

4 * кут МАС = кут ВАК

Оскільки кути МАС і КАС є рівними за визначенням бісектриси, ми можемо записати:

4 * кут МАС = кут МАС

Отже, ми маємо:

кут МАС = кут ВАК

Це показує, що кути МАС і КАВ є рівними. Знову з визначенням бісектриси, це означає, що АК = СМ.

Отже, ми довели, що АК = СМ у рівнобедреному трикутнику АВС.