На поверхні кулі розміщені три точки. Довжини прямолінійних від- різків, що сполучають ці точки, дорівнюють 10 см, 24 см і 26 см. Через подані точки проведено площину. Знайдіть площу перерізу кулі цією площиною.
Ответы
Ответ:
Щоб знайти площу перерізу кулі площиною, яка проходить через подані точки, нам потрібно визначити радіус кулі та використати формулу для обчислення площі сегмента сфери.
Спочатку знайдемо радіус кулі. Для цього скористаємося теоремою косинусів для трикутника, утвореного променями, що сполучають подані точки. Нехай точки на поверхні кулі позначені як A, B і C. Тоді за теоремою косинусів:
AC² = AB² + BC² - 2 * AB * BC * cos(∠ABC)
Підставимо відомі значення:
26² = 10² + 24² - 2 * 10 * 24 * cos(∠ABC)
676 = 100 + 576 - 480 * cos(∠ABC)
0 = 152 - 480 * cos(∠ABC)
cos(∠ABC) = 152 / 480
cos(∠ABC) ≈ 0.3167
За допомогою функції арккосинуса отримаємо значення ∠ABC:
∠ABC ≈ arccos(0.3167) ≈ 71.13°
Тепер ми можемо використовувати формулу для обчислення площі сегмента сфери:
A = 2πr²(1 - cos(∠ABC))
Підставимо відомі значення:
A = 2π * r² * (1 - 0.3167)
A = 2π * r² * 0.6833
Залишається визначити значення радіуса кулі. Ми можемо використати одну з прямих, що сполучають подані точки, для цього.
Наприклад, якщо ми використовуємо пряму AB, то маємо:
AB² = 10² + 24²
AB² = 100 + 576
AB² = 676
AB = √676
AB = 26
Отже, радіус кулі дорівнює 26 см.
Підставимо значення радіуса у формулу для площі перерізу:
A = 2π * (26)² * 0.6833
A ≈ 2π * 676 * 0.6833
A ≈ 4364.68 см²
Отже, площа перерізу кулі цією площиною становить приблизно 4364.68 см².