Ответы
Ответ: х менше 1,4.
Объяснение:
1) Щоб розв’язати нерівність 2√4-х² ≤ х+4, її можна спростити так:
2√4-х² ≤ х+4
2√4 ≤ х+4+х²
Оскільки нерівність містить квадратний корінь, нам потрібно переконатися, що вираз у квадратному корені є невід’ємним. Отже, маємо х²-4 ≥ 0.
Тепер ми можемо розв’язати квадратне рівняння х²-4 = 0. Розкладаючи його на множники, отримуємо (х-2)(х+2) = 0. Це дає нам дві критичні точки: х = 2 і х = -2.
Тепер розглянемо різні інтервали:
Для х < -2:
Маємо х+4 < 0, тому нерівність має вигляд 2√4-х² ≤ 0.
Спрощуючи це, ми отримуємо 4 ≤ 0, що невірно. Отже, розв’язків у цьому інтервалі немає.
Для -2 ≤ х < 2:
На цьому проміжку х+4 ≥ 0, тому нерівність набуває вигляду 2√4-х² ≤ х+4.
Ми можемо далі спростити нерівність як 2(2)-х² ≤ х+4, що дає -х²-х+4 ≤ 0.
Спрощуючи цю квадратну нерівність, маємо х²+х-4 ≥ 0.
Розкладаючи на множники, отримуємо (х-1)(х+4) ≥ 0.
Розглядаючи знак кожного інтервалу, знаходимо, що це справедливо для -4 ≤ х ≤ 1.
Для х ≥ 2:
Маємо х+4 ≥ 0, тому нерівність набуває вигляду 2√4-х² ≤ х+4.
Спрощуючи це як 2(2)-х² ≤ х+4, ми отримуємо -х²+х ≤ 0.
Розкладаючи на множники, маємо -х(х-1) ≤ 0.
Ця нерівність справедлива при 0 ≤ х ≤ 1.
Об’єднавши всі інтервали, ми знайдемо, що розв’язок такий:
-4 ≤ х ≤ 1.
2) Щоб розв’язати нерівність √х²+4х-5 < х-3, спочатку спростимо її так:
√х²+4х-5 < х-3
Підведіть обидві сторони в квадрат, щоб вилучити квадратний корінь:
(√х²+4х-5)² < (х-3)²
х²+4х-5 < х²-6х+9
10х < 14
х < 1,4
Отже, розв’язок нерівності х менше 1,4.