Question

Коло, яке проходить через вершини В і С прямокутного трикутника АВС, перетинає гіпотенузу АВ у точці К. Дотичні до цього кола, проведені в точках С і К, перетинаються в точці О. Доведіть, що ОА = ОС.

Answer 1

Розглянемо дану ситуацію.

Нехай
O
1
O
1
​
- центр кола, що проходить через вершини В і С.
Доведемо, що
O
1
O
1
​
лежить на серединному перпендикулярі до СВ (відстань між точками В і С).
Оскільки
△
A
B
C
△ABC - прямокутний трикутник, то серединний перпендикуляр до гіпотенузи (СВ) проходить через вершину прямого кута (А). Отже,
△
O
1
C
O
2
△O
1
​
CO
2
​
- прямокутний трикутник.

Також, оскільки
O
1
C
O
1
​
C і
O
2
C
O
2
​
C - дотичні,
∠
C
O
1
O
2
∠CO
1
​
O
2
​
- прямий кут.

Отже, за теоремою про однакові прямокутні кути,
O
1
O
2
O
1
​
O
2
​
перпендикулярно до
C
O
1
CO
1
​
і, отже, паралельно СВ. Це означає, що
O
1
O
1
​
- серединна точка СВ.

Тепер, оскільки
O
1
O
1
​
- серединна точка СВ, то
O
1
A
=
O
1
C
O
1
​
A=O
1
​
C. Таким чином,
O
A
=
O
C
OA=OC.

Ми довели, що
O
A
=
O
C
OA=OC, і тим самим завершили доказ.