Вартість одного кілограма шоколадних цукерок – х грн., а кілограма картоплі – у грн., причому числа х та у - натуральні та не більші ніж двоцифрові. Мати сказала Андрійкові купити 200 г цукерок та один кілограм картоплі, що мало коштувати N грн.. Андрійко все переплутав і купив 200 г картоплі та 1 кг цукерок.Йому довелося сплатити рівно M > N грн.. Виявилося, що двоцифрові числа М та N записуються одними й тими ж цифрами, але в різному порядку. Скільки коштує кілограм картоплі та кілограм цукерок?
Ответы
Ответ:
х=50 гр/кг, у=5 гр/кг
Пошаговое объяснение:
итак, конфеты стоят х гр/кг, картошка у гр/кг.
Запишем условие формально, в буквах и цифрах:
мама сказала купить 200 г конфет, (т.е. 0,2 кг), и 1кг картошки: 0,2*х+1*у=N (гривен);
Андрей же купил 1*х+0,2*у=M (гривен).
Получаем систему двух линейных уравнений:
0,2х+у=N;
x+0,2y=M.
Переменных слишком много. А что сказано в условии о числах M и N? Что они двузначные, что они записаны одинаковыми цифрами, но в разном порядке. Так это ж числа вида 12 и 21, или 35 и 53. Таких пар чисел много (примерно 50...60), перебором подобрать не удастся.
Пойдем другим путем. Заметим, что сумма таких пар чисел – это число с одинаковыми цифрами: 12 + 21=33, или 35 и 53=88. Вот так, числа получаются разные, но цифры в них одинаковые.
Давайте сложим наши числа M и N:
M+N=0,2х+у+ x+0,2y;
M+N=1,2x+1,2y ⇔ M+N=1,2(x+y) ⇔ (M+N)/1.2=x+y
(M+N)/1.2=x+y
рассмотрим поближе последнее уравнение. Справа сумма натуральных (по условию задачи) чисел. Сумма натуральных чисел число натуральное. Следовательно и слева число натуральное. Т.е. число (M+N)/1.2 - натуральное. Но с другой стороны число M+N - двузначное (по условию задачи) число с одинаковыми цифрами. Подберем такое двузначное натуральное число с одинаковыми цифрами, которое после деления его на 1,2 дает в результате натуральное. Таких чисел немного:
22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. После деления этих чисел на 1,2 целый результат получится только после деления числа 66:
66 : 1,2 =55.
Итак получаем, что M+N=66, а, возвращаясь к нашему уравнению, получаем:
x+y=55 ⇔ x=55-y;
Число 66 разлагается на слагаемые вот так: 15+51, 24+42, 33+33, 42+24, 51+15. Т.к. по условию N<M, то все разложения кроме 15+51 и 24+42 нам не подходят. Пробуем:
1) N+M=24+42
0,2х+у=N ⇒ 0.2(55-y)+y=24 ⇔ 11+0.8y=24 ⇔ y=13/0.8=16,25 ∉ N -не подходит.
2) N+M=15+51
0,2х+у=N ⇒ 0.2(55-y)+y=15 ⇔ 11+0.8y=15 ⇔ y=4/0,8=5; ⇒ x=55-5=50
Проверяем:
5*0,2+50=51;
5+0.2*50=15;
51+15=66 все правильно!
Светлая голова у составителя задачи!