Question

(3x+1)/(3x-1)-(3x-1)/(3x+1)=6/(1-9x^2)

Решить уравнение!

Answer 1

Для розв'язання даного рівняння можна скористатися методом зведення дробових виразів до спільного знаменника.

Давайте спростимо ліву частину рівняння:

\[\frac{3x+1}{3x-1} - \frac{3x-1}{3x+1} = \frac{(3x+1)^2 - (3x-1)^2}{(3x-1)(3x+1)}\]

Розвинемо чисельник:

\[(3x+1)^2 - (3x-1)^2 = 9x^2 + 6x + 1 - (9x^2 - 6x + 1) = 12x\]

Тепер підставимо це у вираз:

\[\frac{12x}{(3x-1)(3x+1)} = \frac{12x}{9x^2 - 1}\]

Тепер порівняємо це з правою частиною рівняння:

\[\frac{12x}{9x^2 - 1} = \frac{6}{1-9x^2}\]

Множниками зробимо відносно \(x\):

\[12x = 6(9x^2 - 1)\]

Розв'яжемо це рівняння:

\[12x = 54x^2 - 6\]

\[54x^2 - 12x - 6 = 0\]

Ділимо обидві сторони на 6:

\[9x^2 - 2x - 1 = 0\]

За допомогою квадратного кореня розв'яжемо для \(x\):

\[x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-1)}}{2 \cdot 9}\]

\[x = \frac{2 \pm \sqrt{40}}{18}\]

\[x = \frac{1 \pm \sqrt{10}}{9}\]

Отже, рішення рівняння \( \frac{3x+1}{3x-1} - \frac{3x-1}{3x+1} = \frac{6}{1-9x^2} \) має вигляд \( x = \frac{1 \pm \sqrt{10}}{9} \).