В некоторой геометрической прогрессии с положительным знаменателем 300 членов. Их сумма в 7²⁰⁰ + 7¹⁰⁰ + 1 раз больше суммы ее первых 100 чле- нов. Во сколько раз произведение тех членов этой прогрессии, номера которых оканчиваются на 7, больше произведения членов с номерами, оканчивающи- мися на 3? В ответе записать степень 7.
Ответы
Ответ:
7¹²⁰
Объяснение:
Формула суммы n-членов геометрической прогрессии:
, где
- первый член прогрессии,
- знаменатель.
По условию имеем:
Из этого равенства очевидно, что q = 7.
Рассмотрим все члены арифметической прогерссии, чьи номера оканчиваются на 7:
Каждый этот член можно представить по ф-ле n-го члена геомет. прогрессии:
Получаем:
Рассмотрим произведение всех этих членов:
Попробуем найти, чему будут равны k и m. Не трудно заметить, что m можно найти как сумму всех членов арифметической прогрессии 6, 16, 26, ..., 296, а k - это просто количество всех элементов получившейся прогрессии.
Формула суммы n-членов арифмет. прогрессии:
Форула количества членов арифет. прогрессии:
, где
- последний член прорессии.
Получаем:
Откуда k = 30, m = 4530.
Аналогично все проделываем для всех членов геометрической прогрессии с номером, оканчивающимся на 3, и получаем для этого произведения:
Значит частное от произведения членов прогрессии, оканчивающихся на 7, и членов, оканчивающихся на 3, равно: