Question

В некоторой геометрической прогрессии с положительным знаменателем 300 членов. Их сумма в 7²⁰⁰ + 7¹⁰⁰ + 1 раз больше суммы ее первых 100 чле- нов. Во сколько раз произведение тех членов этой прогрессии, номера которых оканчиваются на 7, больше произведения членов с номерами, оканчивающи- мися на 3? В ответе записать степень 7.​

Answer 1

Ответ:

7¹²⁰

Объяснение:

Формула суммы n-членов геометрической прогрессии:

• $Sn=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$, где $b_1$ - первый член прогрессии, $q$ - знаменатель.

По условию имеем:

• $\frac{S_{300}}{S_{100}}=\frac{\frac{b_1(q^{300}-1)}{q-1} }{\frac{b_1(q^{100}-1)}{q-1} }=\frac{q^{300}-1}{q^{100}-1}=\frac{(q^{100})^3-1^3}{q^{100}-1}=\frac{(q^{100}-1)(q^{200}+q^{100}+1)}{q^{100}-1}=q^{200}+q^{100}+1=7^{200}+7^{100}+1$

Из этого равенства очевидно, что q = 7.

Рассмотрим все члены арифметической прогерссии, чьи номера оканчиваются на 7:

• $b_7,b_{17},b_{27},...,b_{297}$

Каждый этот член можно представить по ф-ле n-го члена геомет. прогрессии:

• $b_n=b_1q^{n-1}$

Получаем:

• $b_7=b_1*q^{6}\\b_{17}=b_1*q^{16}\\b_{27}=b_1*q^{26}\\...\\b_{297}=b_1*q^{296}$

Рассмотрим произведение всех этих членов:

• $b_7*b_{17}*b_{27}*...*b_{297}=(b_1*q^6)*(b_{1}*q^{16})*(b_{1}*q^{26})*...*(b_1*q^{296})=(b_1)^k*q^m$

Попробуем найти, чему будут равны k и m. Не трудно заметить, что m можно найти как сумму всех членов арифметической прогрессии 6, 16, 26, ..., 296, а k - это просто количество всех элементов получившейся прогрессии.

Формула суммы n-членов арифмет. прогрессии:

• $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}*n$

Форула количества членов арифет. прогрессии:

• $n=\frac{a_{max}-a_1}{d}+1$, где $a_{max}$ - последний член прорессии.

Получаем:

• $n=\frac{296-6}{10}+1=30$

• $S_{30}=\frac{6+296}{2}*30 =4530$

Откуда k = 30, m = 4530.

Аналогично все проделываем для всех членов геометрической прогрессии с номером, оканчивающимся на 3, и получаем для этого произведения:

• $b_3*b_{13}*b_{23}*...*b_{293}=(b_1)^{30}*q^{4410}$

Значит частное от произведения членов прогрессии, оканчивающихся на 7, и членов, оканчивающихся на 3, равно:

• $\frac{(b_1)^{30}q^{4530}} {{(b_1)}^{30}q^{4410}} =q^{120}=7^{120}$