Question

ДОПОМОЖІТЬ СРОЧНОО
$integrate (x ^ 4 + 1) dx/x ^ 3 - x ^ 2 + x - 1$​

Answer 1

Ответ:

Неопределённый интеграл . Интегрирование рациональной дроби .

$\bf \displaystyle \int \frac{(x^4+1)\, dx}{x^3-x^2+x-1}=\int \frac{(x^4+1)\, dx}{x^2(x-1)+(x-1)}=\int \frac{(x^2+1)^2-2x^2}{(x-1)(x^2+1)}\, dx=\\\\\\=\int \Big(\frac{x^2+1}{x-1}-\frac{2x^2}{(x-1)(x^2+1)}\Big)\, dx=\\\\\\=\int \Big(\frac{(x-1)(x+1)+2}{x-1}-\frac{2(x^2+1)-2}{(x-1)(x^2+1)}\Big)\, dx=\\\\\\=\int \Big(x+1+\frac{2}{x-1}-\frac{2}{x-1}+\frac{2}{(x-1)(x^2+1)}\Big)\, dx=I$

Разложим дробь на сумму простейших дробей .

$\bf \displaystyle \frac{2}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}\ \ ,\\\\\\2=Ax^2+A+Bx^2-Bx+Cx-C=(A+B)x^2+(C-B)x+(A-C)\\\\x=1\ \ \to \ \ \ A=\frac{2}{2}=1\\\\x^2\ |\ 0=A+B\ \ \to \ \ B=-A=-1\\\\x\ \ |\ 0=C-B\ \ \to C=B=-1\\\\\\I=\int \Big(\frac{1}{x-1}-\frac{x+1}{x^2+1}\Big)\, dx=\int \Big(\frac{1}{x-1}-\frac{x}{x^2+1}-\frac{1}{x^2+1}\Big)\, dx=\\\\\\=ln|\, x-1\, |-\frac{1}{2}\, ln|\, x^2+1\, |- arctg\, x+C=ln\frac{|\, x-1\, |}{\sqrt{x^2+1}}-arctg\, x+C$