Question

Освободите дроби от корней в знаменатели
$\frac{1}{ \sqrt{5} + \sqrt { 7} + \sqrt{11} }$
​

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{1}{ \sqrt{5} + \sqrt { 7} + \sqrt{11} } = \dfrac{13\sqrt{5}+9\sqrt{7}+ \sqrt{11} -2\sqrt{385}}{ 139}$

Решение:

В знаменателе рассмотрим выражение как сумму двух выражений и умножим числитель и знаменатель дроби на разность этих же выражений:

$\dfrac{1}{ \sqrt{5} + \sqrt { 7} + \sqrt{11} } = \dfrac{1 }{ (\sqrt{5} + \sqrt { 7}) + \sqrt{11} } =$

$= \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt { 7} - \sqrt{11} }{ \Big((\sqrt{5} + \sqrt { 7}) + \sqrt{11} \Big)\Big((\sqrt{5} + \sqrt { 7}) - \sqrt{11} \Big)} =$

$=\dfrac{\sqrt{5} + \sqrt { 7} - \sqrt{11} }{ (\sqrt{5} + \sqrt { 7})^2 - (\sqrt{11} )^2} =\dfrac{\sqrt{5} + \sqrt { 7} - \sqrt{11} }{ (\sqrt{5})^2+ (\sqrt { 7})^2 +2\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{7} - 11}$

$=\dfrac{\sqrt{5} + \sqrt { 7} - \sqrt{11} }{ 5+ 7 +2\sqrt{35} - 11} =\dfrac{\sqrt{5} + \sqrt { 7} - \sqrt{11} }{ 1 +2\sqrt{35} } \ \boxed{=}$

Вновь умножим числитель и знаменатель на разность выражений, сумма которых уже записана в знаменателе:

$\boxed{=}\ \dfrac{\left(\sqrt{5} + \sqrt { 7} - \sqrt{11}\right)\left(1 -2\sqrt{35} \right) }{ \left(1 +2\sqrt{35} \right)\left(1 -2\sqrt{35} \right)} =\dfrac{\left(\sqrt{5} + \sqrt { 7} - \sqrt{11}\right)\left(1 -2\sqrt{35} \right) }{ 1^2 -(2\sqrt{35})^2 \right)} =$

$=\dfrac{\left(\sqrt{5} + \sqrt { 7} - \sqrt{11}\right)\left(1 -2\sqrt{35} \right) }{ 1 -4\cdot35} =\dfrac{\left(\sqrt{5} + \sqrt { 7} - \sqrt{11}\right)\left(1 -2\sqrt{35} \right) }{ -139} =$

$=\dfrac{\left(\sqrt{5} + \sqrt { 7} - \sqrt{11}\right)\left(2\sqrt{35}-1 \right) }{ 139}\ \boxed{=}$

В знаменателе уже отсутствует иррациональность, но можно еще и в числителе раскрыть скобки:

$\boxed{=}\ \dfrac{2\cdot5\sqrt{7} +2\cdot 7\sqrt{5} -2\sqrt{385}-\sqrt{5} - \sqrt { 7} + \sqrt{11} }{ 139}=$

$=\dfrac{10\sqrt{7} +14\sqrt{5} -2\sqrt{385}-\sqrt{5} - \sqrt { 7} + \sqrt{11} }{ 139}=$

$=\boxed{\dfrac{13\sqrt{5}+9\sqrt{7}+ \sqrt{11} -2\sqrt{385}}{ 139}}$