Question

ДАЮ 40 БАЛІВ,СРОЧНО!!!!
9. Розв'язати нерівність: (2x + 3) ^ 2 < x ^ 2 + 4x + 12​

Answer 1

$(2x+3)^2 < x^2+4x+12$

Розкрию дужки в лівій частині нерівності за формулою та вирішу:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

$4x^2+12x+9 < x^2+4x+12\\4x^2-x^2+12x-4x+9-12 < 0\\3x^2+8x-3 < 0$

Здобув звичайну квадратну нерівність. Знайду корені:

$\displaystyle 3x^2+8x-3=0\\D=b^2-4ac=8^2-4*3*(-3)=64+36=100\\x_1=\frac{-b+\sqrt{D} }{2a} =\frac{-8+10}{2*3} =\frac{2}{6} =\frac{1}{3} \\\\x_2=\frac{-b-\sqrt{D} }{2a} =\frac{-8-10}{2*3} =\frac{-18}{6} =-3$

Тепер можна вирішити методом інтервалів, для цього по черзі братиму будь яке число з проміжків (1/3; +∞); (-3; 1/3); (-∞; -3), та підставлятиму їх до квадратної нерівності, щоб дізнатися додатне число чи від'ємне.

(1/3; +∞): візьму число 2:

$3*2^2+8*2-3=25 > 0$

(-3; 1/3): візьму число 0:

$3*0^2+8*0-3=-3 < 0$

(-∞; -3): візьму число -4:

$3*(-4)^2+8*(-4)-3=13 > 0$

Тепер, позначу числа на координатній прямій, і де отримав додатнє – поставлю плюс, де від'ємне – мінус:

$\displaystyle +++++(-3)-----(\frac{1}{3} )+++++$

Нам потрібно було знайти, де нерівність менша за нуль, дивимося де мінуси на координатній прямій і такий проміжок пишемо у відповіді:

$\displaystyle x\in(-3;\frac{1}{3} )$