Ответы
Ответ:
1. Координати вершины D: \((-9, 13, -3)\).
2. Гострий кут A: приблизно \(63.43^\circ\).
Пошаговое объяснение:
Для знаходження вершини D і гострого кута A у паралелепіпеді ABCD потрібно використовувати векторні властивості паралелепіпеда та використовувати геометричні відношення між векторами сторін паралелепіпеда.
1. **Знаходження векторів сторін паралелепіпеда:**
Вектор \( \vec{AB} \) можна знайти, віднявши координати точки B від координат точки A:
\[ \vec{AB} = \langle -5 - 3, 2 - (-4), (-3) - (-2) \rangle = \langle -8, 6, -1 \rangle \]
Аналогічно, знаходимо вектори \( \vec{AC} \) і \( \vec{AD} \):
\[ \vec{AC} = \langle (-1) - 3, 7 - (-4), (-2) - (-2) \rangle = \langle -4, 11, 0 \rangle \]
Тепер знаходимо вектор \( \vec{AD} \):
\[ \vec{AD} = \vec{AC} + \vec{AB} = \langle -4, 11, 0 \rangle + \langle -8, 6, -1 \rangle = \langle -12, 17, -1 \rangle \]
2. **Знаходження координат вершини D:**
Координати вершини D можна знайти, додавши координати вектора \( \vec{AD} \) до координат точки A:
\[ D(x_D, y_D, z_D) = A(x_A, y_A, z_A) + \vec{AD} \]
\[ D = (3, -4, -2) + (-12, 17, -1) = (-9, 13, -3) \]
3. **Знаходження гострого кута A:**
Гострий кут між векторами можна знайти за допомогою скалярного добутку:
\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{\|\vec{AB}\| \cdot \|\vec{AC}\|} \]
Після знаходження значення \( \cos(\theta) \), можна знайти гострий кут A:
\[ \theta = \cos^{-1}(\cos(\theta)) \]
\[ A = \cos^{-1}\left(\frac{\langle -8, 6, -1 \rangle \cdot \langle -4, 11, 0 \rangle}{\sqrt{(-8)^2 + 6^2 + (-1)^2} \cdot \sqrt{(-4)^2 + 11^2 + 0^2}}\right) \]
Обчисліть значення, щоб знайти гострий кут A.