Question

Доведіть що для всіх натуральних n число (11…1(2n одиниць) - 22…2(n двійок)) є квадратом натурального числа

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Давайте спробуємо довести це для всіх натуральних n за допомогою математичної індукції.

Базовий випадок: n = 1

У цьому випадку ми маємо число (11 - 22), яке дорівнює (-11). -11 - це квадрат натурального числа, а саме він дорівнює (-1)² = 1. Таким чином, базовий випадок доведений.

Крок індукції:

Припустимо, що для певного n число (11…1(2n одиниць) - 22…2(n двійок)) є квадратом натурального числа, тобто існує таке ціле число k, що:

(11…1(2n одиниць) - 22…2(n двійок)) = k²

Доведемо, що складаємо з n+1 символами також є квадратом натурального числа:

(11...1(2n+2 одиниць) - 22...2(n+1 двійок))= (11...1(2n одиниць) * 100...0 (n нулів) + 11...1 - 22...2(n двійок)= (11...1(2n одиниць) * 100...0(n нулів) + 11...1 * (1 - 2*10^n) = (11...1(2n одиниць) * 100...0(n нулів) - 11...1 * (2*10^n- 1)= (11...1(2n одиниць) * 100...0(n нулів) - 11...1 * 2(10^n-1))=(11...1(2n одиниць) * (100...0(n нулів) - 2(10^n-1)) = (11...1(2n одиниць)*(10^n - 1)^2

Отже, ми показали, що якщо число (11…1(2n одиниць) - 22…2(n двійок)) є квадратом натурального числа для певного n, то воно буде є також квадратом натурального числа для n+1.

З цього випливає, що для всіх натуральних n число (11…1(2n одиниць) - 22…2(n двійок)) є квадратом натурального числа.