Question

Хорду нижньої основи циліндра видно із центра цієї основи під кутом β . Відрізок, який сполучає центр верхньої основи із серединою даної хорди, нахилений до площини основи під кутом α. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, якщо радіус основи дорівнює r

Answer 1

Позначимо висоту циліндра - Н, радіус основи - r.

Відстань від центра основи до середини хорди дорівнює r*cos(α/2).

За умови, що відрізок, що сполучає центр верхньої основи з одним з кінців проведеної хорди і утворює з площиною основи кут β,

r = Н / tg β.

Враховуючи, що відстань від центра нижньої основи до поверхневої хорди дорівнює а, можна визначити рівняння:

Н² + (r*cos (α/2))² = a².

Замінюєм r = Н / tg β, та, тоді Н = (a*tg β) / √(tg²β+cos²(α/2)),

також r = a / √(tg²β+cos²(α/2)).

Довжина кола основи L = 2πr = 2πa / √(tg²β+cos²(α/2)).

Площа бічної поверхні циліндра становить S = L*H =

= 2πa / √(tg²β+cos²(α/2)) * (a*tg β) / √(tg²β+cos²(α/2)) =

= (2πa²*tg β) / (tg²β+cos²(α/2))