Question

Даю 100 баллов геометрия! ​

Answer 1

Ответ:

1.   $\bf A(0;1;-1)\ ,\ B(1;-1;2)\ ,\ C(3;1;0)\ ,\ D(2;1;1)$        

Найти угол между векторами ВС и AD .

$\bf \overline{BC}=(2;2;-2)\ \ ,\ \ \overline{AD}=(2;0;2)$

$\bf cos\varphi =\dfrac{\overline{BC}\cdot \overline{AD}}{|\overline{BC}|\cdot |\overline{AD}|}=\dfrac{2\cdot 2+2\cdot 0-2\cdot 2}{\sqrt{2^2+2^2+(-2)^2}\cdot \sqrt{2^2+0^2+2^2}}=\dfrac{4-4}{\sqrt{12}\cdot \sqrt{8}}=0$

Если   $\bf cos\varphi =0$  , То векторы ВС и AD перпендикулярны ,  $\bf \varphi = 90^\circ$  .

2.  Найти площадь треугольника АВС . Сделаем это через векторное произведение векторов АВ и АС .

$\bf A(9;0;2)\ ,\ B(6;0;-2)\ ,\ C(0;3;0)\\\\\overline{AB}=(-3;0;-4)\ \ ,\ \ \ \overline{AC}=(-9;3;-2)\\\\\\\overline{AB}\times \overline{AC}=\left|\begin{array}{ccc}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\-3&0&-4\\-9&3&-2\end{array}\right|=12\overline{i}+30\overline{j}-9\overline{k}$  

Модуль векторного произведения равен

$\bf |\overline{AB}\times\overline{AC}|=\sqrt{12^2+30^2+(-9)^2}=\sqrt{1125}=15\sqrt{5}$  

Площадь треугольника АВС равна

$\bf S(\Delta)=\dfrac{1}{2}\cdot 15\sqrt5=7,5\sqrt5$