Question

Знаменатель геометрической прогрессии равен 1/3 третий член этой прогрессии равен 1/18 сумма нескольких первых членов прогрессии равна 20/27 найдите число суммированных членов этой прогрессии

Answer 1

Ответ:

Число суммированных членов этой геометрической прогрессии равно 4

Объяснение:

Информация. Верны свойства:

• Общий член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле $\tt b_n=b_1 \cdot q^{n-1},$ здесь b₁ - первый член и q - знаменатель геометрической прогрессии.
• Сумма первых n членов геометрической прогрессии можно вычислить по формуле $\tt \displaystyle S_n=\frac{b_1 \cdot (1-q^n)}{1-q}.$

Решение. По условию

$\tt q=\dfrac{1}{3}, \;\; b_3 =\dfrac{1}{18}, \;\; S_n =\dfrac{20}{27} .$

Определим первый член геометрической прогрессии:

$\tt q=\dfrac{1}{3}, \;\; b_3 = \dfrac{1}{18} , \;\; b_3 =b_1 \cdot q^2 \Rightarrow \dfrac{1}{18} = b_1 \cdot \bigg (\dfrac{1}{3} \bigg)^2 \Rightarrow b_1 = \dfrac{1}{2} .$

Теперь определим число n суммированных членов этой геометрической прогрессии

$\tt \displaystyle q=\dfrac{1}{3}, \;\; b_1 =\dfrac{1}{2}, \;\; S_n =\dfrac{20}{27} , \;\; S_n =\frac{b_1 \cdot \big (1-q^n)}{1-q} \Rightarrow \frac{\dfrac{1}{2} \cdot \bigg(1- \bigg (\dfrac{1}{3} \bigg)^n \bigg)}{1-\dfrac{1}{3}} =\frac{20}{27} \Rightarrow$

$\tt \displaystyle \Rightarrow \frac{\dfrac{1}{2} \cdot \bigg(1- \bigg (\dfrac{1}{3} \bigg)^n \bigg)}{1-\dfrac{1}{3}} =\frac{20}{27} \Rightarrow \frac{1- \bigg (\dfrac{1}{3} \bigg)^n }{\dfrac{2}{3}} =\frac{40}{27} \Rightarrow 1- \bigg (\dfrac{1}{3} \bigg)^n =\frac{80}{81} \Rightarrow \\\\\\\Rightarrow \bigg (\dfrac{1}{3} \bigg)^n =1-\frac{80}{81} \Rightarrow \bigg (\dfrac{1}{3} \bigg)^n =\frac{1}{81} \Rightarrow \bigg (\dfrac{1}{3} \bigg)^n =\bigg (\dfrac{1}{3} \bigg)^4 \Rightarrow n=4.$

Значит, число суммированных членов этой геометрической прогрессии равно 4.

#SPJ1